基于卡尔曼滤波的SLAM

### 基于卡尔曼滤波的SLAM算法原理

在讨论基于卡尔曼滤波(SLAM)的同时定位与地图构建技术时，核心概念围绕着贝叶斯过滤框架展开。此框架利用先前的知识和新的测量数据来更新系统的状态估计[^1]。

具体来说，在SLAM背景下，卡尔曼滤波用于处理传感器读数中的噪声并提供关于机器人位置及其周围环境结构的最佳估计。这一过程依赖于一系列数学模型，这些模型描述了机器人的运动方式（动作模型）以及观测到的数据如何反映实际世界的状态（观察模型）。通过迭代执行预测和校正两个阶段的操作，可以逐步减少不确定性，从而获得更精确的位置信息和地图表示[^3]。

#### 预测阶段
在此阶段，根据上一时刻的状态向量\( \hat{x}_{k|k-1} \)，结合控制输入\( u_k \)，使用动力学方程预测当前时刻的新状态\[ \hat{x}_k^- = f(\hat{x}_{k-1},u_k)\] 和相应的协方差矩阵 \( P_{k|k-1}=A_kP_{k-1}A_k^T+W_kQW_k^T\)。

#### 更新/校正阶段
当接收到新观测值z时，则需调整之前的预测结果以更好地匹配实际情况。这涉及到计算卡尔曼增益K、残差r及最终修正后的状态估值\[ K=H^{-1}(HPH^{T}+R)^{-1}\]\[\hat{x}_k=\hat{x}_k^- +Kr\]。

### 实现方法

对于非线性的系统，通常采用扩展卡尔曼滤波(EKF)或无迹卡尔曼滤波(UKF)来进行近似处理。EKF通过对非线性函数进行泰勒级数展开并在工作点处取一次项的方式简化问题；而UKF则引入一组加权样本点——sigma points 来捕捉分布特性而不必显式求解雅可比矩阵[^5]。

特别值得注意的是平方根无迹卡尔曼滤波(Square Root Unscented Kalman Filter, SR-UKF), 它不仅保持了UKF的优点还进一步增强了数值稳定性和效率。文献中提到的一种创新方案即是在粒子群优化(PHD)基础上集成SR-UKF作为内部组件完成多目标追踪任务，并成功验证了这种方法的有效性[^2]。

import numpy as np

def ekf_predict(x_hat_prev, P_prev, F, B, u, Q):
    """Extended Kalman Filter Prediction Step"""
    
    # Predict state estimate
    x_hat_pred = F @ x_hat_prev + B @ u
    
    # Update covariance matrix prediction
    P_pred = F @ P_prev @ F.T + Q
    
    return x_hat_pred, P_pred


def ekf_update(z_meas, H, R, x_hat_pred, P_pred):
    """Extended Kalman Filter Correction Step"""

    y = z_meas - H @ x_hat_pred  # Measurement residual
    S = H @ P_pred @ H.T + R      # Residual Covariance Matrix
    K = P_pred @ H.T @ np.linalg.inv(S)  # Optimal Kalman Gain
    
    # Correct the predicted state with measurement information
    x_hat_new = x_hat_pred + K @ y
    
    I_KH = np.eye(len(K)) - K @ H
    P_new = (I_KH @ P_pred).dot(I_KH.T) + K @ R @ K.T
    
    return x_hat_new, P_new

### 应用场景

基于卡尔曼滤波的SLAM解决方案被广泛应用到了自动驾驶汽车导航、无人机自主飞行等领域当中。这类技术使得设备能够在未知环境中移动过程中实时创建地图并确定自己的确切方位，这对于提高自动化水平至关重要[^4]。