三对角矩阵的各阶主矩阵求解线性方程组的代码

三对角矩阵是一种特殊的稀疏矩阵，其非零元素只集中在对角线上以及下/上对角线下一行/一列。这种结构使得求解线性方程组 \(Ax = b\) 更加高效，因为我们可以利用递归公式直接计算得到结果，而不需要像全矩阵那样进行大规模的乘法运算。

在Python中，可以使用NumPy库来处理这个问题。下面是一个简单的例子，展示了如何通过`linalg.solve_triangular`函数来求解三对角矩阵的线性方程组：

import numpy as np

def solve_tridiagonal(a, d, e):
    n = len(a) - 1
    x = np.zeros(n)
    
    # 下三角部分
    for i in range(1, n+1):
        x[i-1] = (b[i] - d[i]*x[i]) / a[i]

    # 上三角部分，如果存在
    if e is not None:
        x[n-1] /= (a[n] - e * x[n])
        
        for i in range(n-2, -1, -1):
            x[i] = (b[i+1] - e*x[i+1] - d[i]*x[i]) / a[i]
            
    return x

# 假设我们有三对角矩阵A、d (对角线元素) 和 b (右侧向量)
A = np.diag([1, 2, 3, 4], k=0) + np.diag([-1, 1], k=-1) + np.diag([1, -1], k=1)
d = [5, 6, 7]
e = [None, 8]  # 如果上三角没有，设置为None
b = [9, 10, 11, 12]

solution = solve_tridiagonal(A, d, e)
print("Solution:", solution)