(469条消息) 前缀和与差分 图文并茂 超详细整理(全网最通俗易懂)_林小鹿@的博客-c

前缀和和差分是算法中常用的两种技巧，用于快速计算数组区间的和与修改区间内的元素。

前缀和，即前缀数组，是指将原数组经过一定的操作，得到一个新的数组，新数组的每个元素是原数组中对应位置前所有元素的和。例如，对于数组[1, 2, 3, 4, 5]，它的前缀和数组为[1, 3, 6, 10, 15]。前缀和的计算可以通过动态规划的思想实现，从左到右遍历数组，当前位置的前缀和等于前一个位置的前缀和加上当前位置的元素值。

前缀和的应用非常广泛，常见的应用场景有计算数组区间的和、统计数组中某个元素出现的次数等。对于计算数组区间的和，可以通过前缀和数组的差值来快速计算，例如计算数组中第i个元素到第j个元素的和，等于前缀和数组的第j个元素减去第i-1个元素。

差分，顾名思义，是指得到一个数组的差分数组，差分数组的每个元素是原数组中对应位置与前一个位置元素的差。例如，对于数组[1, 3, 6, 10, 15]，它的差分数组为[1, 2, 3, 4, 5]。差分的计算可以通过动态规划的思想实现，从右到左遍历数组，当前位置的差分等于原数组当前位置的值减去前一个位置的值。

差分数组的应用也非常广泛，常见的应用场景有修改数组区间内的元素值、求解某个位置的元素值等。对于修改数组区间内的元素值，可以通过差分数组来快速实现，如将数组中第i个到第j个位置的元素都加上某个值，只需要将差分数组的第i个元素加上该值，差分数组的第j+1个元素减去该值。

通过图文并茂的方式，我展示了前缀和和差分的计算过程和应用示例，希望能帮助你理解这两个技巧的使用方法和效果。如果有任何疑问，欢迎随时留言。

相关问题

前缀和与差分（超详细！！！）

前缀和和差分是一类常用的算法，它们常常被用来优化一些区间操作的问题，如求区间和、区间最大值/最小值等等。下面我们将分别介绍前缀和和差分的定义、用法和常见问题。

## 前缀和

前缀和，顾名思义，就是把前面所有数的和都求出来，用一个数组存起来，以便之后的查询。

### 定义

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$，令 $s_i = \sum_{j=1}^{i}a_j$，则 $s$ 称为序列 $a$ 的前缀和数组。

### 用法

前缀和的主要作用是用 $O(1)$ 的时间复杂度求出一个区间 $[l,r]$ 的和，即 $s_r - s_{l-1}$。这是因为 $s_r$ 存储了序列从 $1$ 到 $r$ 的和，而 $s_{l-1}$ 存储了序列从 $1$ 到 $l-1$ 的和，因此区间 $[l,r]$ 的和可以通过两个前缀和相减计算得出。

前缀和的时间复杂度为 $O(n)$，因为需要遍历一遍序列求出前缀和数组。但是，如果有多个查询需要求区间和，那么使用前缀和可以将每次查询的时间复杂度降低到 $O(1)$。

### 代码实现

下面是使用前缀和求区间和的代码实现：

vector<int> a; // 原序列
vector<int> s(a.size() + 1); // 前缀和数组

// 计算前缀和
for (int i = 1; i <= a.size(); i++) {
    s[i] = s[i - 1] + a[i - 1];
}

// 查询区间 [l, r] 的和
int sum = s[r] - s[l - 1];

## 差分

差分和前缀和相反，它主要用来对区间进行修改。我们可以利用差分数组进行区间修改，并最终得到修改后的序列。

### 定义

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$，令 $d_i = a_i - a_{i-1}$（$d_1 = a_1$），则 $d$ 称为序列 $a$ 的差分数组。

### 用法

差分的主要作用是对区间进行修改。假设我们需要将区间 $[l,r]$ 的数加上 $k$，我们可以将差分数组的 $d_l$ 加上 $k$，将 $d_{r+1}$ 减去 $k$。这样，对差分数组求前缀和，就可以得到修改后的序列。

具体来说，我们可以按照以下步骤进行区间修改：

1. 对差分数组的 $d_l$ 加上 $k$；
2. 对差分数组的 $d_{r+1}$ 减去 $k$；
3. 对差分数组求前缀和，得到修改后的序列。

差分的时间复杂度为 $O(n)$，因为需要遍历一遍序列求出差分数组。但是，如果有多次区间修改需要进行，那么使用差分可以将每次修改的时间复杂度降低到 $O(1)$。

### 代码实现

下面是使用差分进行区间修改的代码实现：

vector<int> a; // 原序列
vector<int> d(a.size() + 1); // 差分数组

// 计算差分数组
for (int i = 1; i < a.size(); i++) {
    d[i] = a[i] - a[i - 1];
}

// 修改区间 [l, r]，将数加上 k
d[l] += k;
d[r + 1] -= k;

// 对差分数组求前缀和，得到修改后的序列
for (int i = 1; i < d.size(); i++) {
    a[i] = a[i - 1] + d[i];
}

## 常见问题

### 1. 差分数组的长度是多少？

差分数组的长度应该比原序列长度多 1，因为 $d_1 = a_1$。

### 2. 什么情况下使用前缀和？什么情况下使用差分？

如果需要进行多次区间查询，那么使用前缀和可以将每次查询的时间复杂度降低到 $O(1)$；如果需要进行多次区间修改，那么使用差分可以将每次修改的时间复杂度降低到 $O(1)$。

### 3. 前缀和和差分的本质区别是什么？

前缀和和差分都是用来优化区间操作的算法，它们的本质区别在于：

- 前缀和是通过预处理前缀和数组来优化区间查询；
- 差分是通过预处理差分数组来优化区间修改。

### 4. 前缀和和差分能否同时使用？

当然可以。如果需要同时进行区间查询和修改，我们可以先使用差分数组对区间进行修改，然后再对差分数组求前缀和，得到修改后的序列。

python前缀和差分

Python中的前缀和和差分是两种常用的算法技巧，用于解决一些与数组或序列相关的问题。

1. 前缀和（Prefix Sum）：
前缀和是指将数组中的元素依次相加得到的新数组。通过计算前缀和，可以在O(1)的时间复杂度内得到任意区间的和。具体步骤如下：
- 初始化一个长度为n+1的前缀和数组prefix_sum，其中prefix_sum = 0。
- 遍历原始数组nums，计算每个位置i的前缀和prefix_sum[i+1] = prefix_sum[i] + nums[i]。
- 最终得到的prefix_sum数组即为原始数组的前缀和数组。

2. 差分（Difference）：
差分是指通过计算相邻元素之间的差值得到的新数组。差分可以用于高效地更新原始数组的某个区间内的元素。具体步骤如下：
- 初始化一个长度为n的差分数组diff，其中diff[i] = nums[i] - nums[i-1]。
- 对于需要更新原始数组nums中某个区间[l, r]内的元素，只需将diff[l]增加val，diff[r+1]减去val。
- 最后根据差分数组diff可以通过累加得到更新后的原始数组。