列文伯格马夸尔特算法matlab代码

列文伯格马夸尔特算法（Levenberg-Marquardt algorithm）是一种用于非线性最小二乘问题的迭代优化算法。它的原理是在高斯牛顿法的基础上引入了Levenberg-Marquardt修正因子，以平衡步长的选择和参数的更新。以下是一个简单的列文伯格马夸尔特算法的MATLAB代码示例：

function [x, resnorm] = levenberg_marquardt(f, x0)
    max_iter = 100;     % 最大迭代次数
    tol = 1e-6;         % 收敛容差
    lambda = 0.01;      % 初始修正因子

    x = x0;             % 初始值
    iter = 0;           % 迭代次数
    resnorm = [];       % 残差平方和的集合

    while iter < max_iter
        J = jacobian(f, x);                         % 计算雅可比矩阵
        r = f(x);                                   % 计算残差
        H = J' * J;                                 % 计算海森矩阵
        g = J' * r;                                 % 计算梯度向量
        alpha = (H + lambda * eye(length(x))) \ g;  % 求解线性方程组

        x_new = x - alpha;                          % 更新参数
        r_new = f(x_new);                           % 计算新残差

        if norm(r_new) < tol
            break;                                  % 残差足够小，达到收敛条件
        end

        if norm(r_new) < norm(r)                   % 更新修正因子
            lambda = lambda / 10;
            x = x_new;
            r = r_new;
        else
            lambda = lambda * 10;
        end

        iter = iter + 1;
        resnorm(iter) = norm(r)^2;                   % 记录每次的残差平方和
    end
end

function J = jacobian(f, x)
    m = length(f(x));                           % 残差个数
    n = length(x);                              % 参数个数
    h = sqrt(eps);                              % 微小步长

    J = zeros(m, n);                            % 初始化雅可比矩阵
    f0 = f(x);                                  % 计算初始残差

    for i = 1:n
        dx = zeros(size(x));
        dx(i) = h;
        J(:, i) = (f(x + dx) - f0) ./ h;        % 计算雅可比矩阵每列的值
    end
end

该代码实现了一个简单的列文伯格马夸尔特算法函数，函数接受一个非线性方程组f和初始值x0作为输入，返回最优解x和残差平方和resnorm。其中，jacobian函数用于计算雅可比矩阵。在迭代过程中，通过调整修正因子lambda的大小来平衡步长选择和参数更新，以达到更好的优化效果。为了控制迭代次数和收敛容差，我们设置了最大迭代次数max_iter和收敛容差tol。