最小二乘法曲线拟合迭代实现matlab

最小二乘法是一种常用的统计学方法，用于通过调整一组数据点的最佳直线或其他函数来拟合数据，目的是使得所有数据点到这条直线的垂直距离之和（残差平方和）尽可能小。在MATLAB中，可以使用`lsqcurvefit`函数来实现非线性最小二乘曲线拟合的迭代过程。

以下是基本步骤：

1. **准备数据**：创建包含自变量(x)和因变量(y)的数据矩阵。

x = your_data_x;
y = your_data_y;

2. **定义模型函数**：编写描述你想要拟合的函数形式，例如多项式、指数等。通常需要定义一个匿名函数或单独的函数文件。

modelFcn = @(params,x) linearModel(params,x); % 替换linearModel为实际模型

这里的`params`是你想找到的最佳参数向量。

3. **初始估计**：提供一组初始参数值。

initialGuess = [0;0]; % 替换为你的初始猜测值

4. **最小化误差**：使用`lsqcurvefit`函数进行迭代优化。

optimizedParams = lsqcurvefit(modelFcn, initialGuess, x, y);

5. **评估结果**：得到最优参数后，你可以用这些参数来预测新的x值对应的y值。

predictedY = modelFcn(optimizedParams, more_new_x_values);

相关问题

最小二乘法拟合数据MATLAB

### MATLAB中最小二乘法数据拟合

#### 多项式拟合 `polyfit` 函数
当面对一元多项式的拟合需求时，MATLAB 提供了简单易用的 `polyfit` 函数。此函数接收三个参数：横坐标向量、纵坐标向量以及指定多项式的最高次数，并返回对应系数数组。

% 假设已知一组测量得到的数据点 (x,y)，尝试用二次多项式去逼近这些样本。
p = polyfit(x, y, 2); % p 将存储所求得的二次方程的各项系数
fitted_y = polyval(p, x); % 计算预测值 fitted_y
plot(x, y,'o', 'MarkerFaceColor','r'); hold on; plot(x,fitted_y);
title('Polynomial Fit with Polyfit');
xlabel('X Axis Label');
ylabel('Y Axis Label');
legend('Data Points', 'Fitted Curve');
grid on;

#### 非线性模型拟合 `nlinfit` 函数
针对更复杂的非线性关系建模场景，则可借助于统计工具箱里的 `nlinfit` 来完成任务。用户需提供具体的数学表达形式作为输入之一，即定义好待估参量的形式；另外还需给出初始猜测值以便启动迭代优化过程。

% 定义目标函数句柄 fun 和初值 beta0
fun = @(beta,xdata) beta(1)*exp(-beta(2).*xdata)+beta(3);
beta0 = [5,-1,7]; 

% 调用 nlinfit 进行估计并获取结果 beta 及残差 resids
[beta,residuals] = nlinfit(xdata, ydata, fun, beta0);

% 绘制原始观测值与拟合后的曲线对比图
figure();
scatter(xdata, ydata);
hold on;
xfit = linspace(min(xdata), max(xdata));
yfit = arrayfun(@(xi) fun(beta, xi), xfit);
plot(xfit, yfit, '-r');
title(['Nonlinear Least Squares Fit Using Nlinfit']);
xlabel('Independent Variable X');
ylabel('Dependent Variable Y');
legend({'Observed Data' , 'Estimated Model'});

#### 线性和多变量回归分析 `regress` 函数
对于涉及多个解释变量的情形下执行标准线性回归操作来说，`regress` 是一个合适的选择。该命令接受设计矩阵（Design Matrix）和响应向量作为主要参数，其中前者包含了所有可能影响因变量变化的因素列组合而成的新表结构体。

% 构造设计矩阵 DesignMatrix=[ones(size(X)),X];
B = regress(Y, DesignMatrix); % B 即为各因素对应的斜率参数集合

% 展示多元线性回归的结果可视化图表
figure();
surf(X(:,1), X(:,2), predict(B,X)); shading interp;
colorbar(); colormap jet;
view([30 45]);
title('Multiple Linear Regression Surface Plot via Regress Function');
xlabel('First Independent Feature');
ylabel('Second Independent Feature');
zlabel('Response Value Prediction');

上述三种方式分别适用于不同类型的最小二乘问题，在具体实践中可根据实际情况灵活选用合适的算法实现最优解寻找[^2]。

最小二乘法数据拟合传染病模型

### 使用最小二乘法对传染病模型进行数据拟合

对于传染病模型的数据拟合，特别是采用SIR模型的情况下，可以借助最小二乘法来优化参数估计。具体来说，在给定一组时间序列观测数据的前提下，通过调整模型中的参数使得模拟曲线尽可能贴近实际观察到的结果。

#### 定义目标函数
为了实现这一点，通常定义一个衡量误差大小的目标函数。该函数计算的是理论值（由SIR模型产生的预测感染人数）与实测值之间的差异平方和。理想情况下，这一数值越低越好[^1]。

function error = objectiveFunction(params, tspan, data)
    % params: 待估参数向量 [beta gamma]
    % tspan: 时间范围
    % data: 实际测量得到的时间序列数据
    
    beta = params(1);
    gamma = params(2);

    options = odeset('RelTol',1e-8,'AbsTol',1e-8);  
    [~, y_fit] = ode45(@(t,y) sirModel(t, y, beta, gamma), tspan, initial_conditions,options);
    
    infected_simulated = y_fit(:,2);  % 取出模拟出来的感染者数量列
    error = sum((data - infected_simulated).^2);  % 计算残差平方和作为误差度量
end

这里`objectiveFunction`接收三个输入参数：待求解的未知数列表、时间段以及真实世界里记录下来的病例数目数组；返回单个输出——即两者间差距程度的一个量化指标。

#### 调整并运行优化算法
接下来就是调用MATLAB内置或其他第三方库提供的最优化工具箱来进行迭代搜索最佳匹配系数的过程了。下面是一个简单的例子展示如何设置初始猜测值并通过fminsearch命令执行局部极小化操作：

initial_guesses = [0.5; 0.1];  % 初始假设接触率β=0.5恢复率γ=0.1
time_interval = linspace(0,max_day,n_points);  % 创建用于ODE求解器的时间轴
observed_cases = ... ;          % 加载实验获得的确诊案例统计表

% 执行非线性规划寻找最优参数组合
optimal_parameters = fminsearch(@(p) objectiveFunction(p,time_interval , observed_cases ), initial_guesses );

上述代码片段展示了怎样设定起始点，并利用`fminsearch`自动探索能够使总偏差降到最低的一组合适的传染性和康复速度比率[^2]。