三次样条插值算法 c++实现

三次样条插值算法是一种用于数据拟合和插值的数值方法，它通过构造一条光滑的三次多项式曲线来插值给定的数据点。

首先，我们需要给定一组已知的数据点，例如(x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn)。然后，我们需要计算每个数据点之间的间隔h和y值的差值Δy。

接下来，我们要计算两个重要的辅助参数：u和λ。其中，u是一个长度为n-1的向量，表示x值之间的比例差。而λ是一个长度为n-1的向量，表示每个间隔对应的方程的系数。

然后，我们可以利用这些参数来计算每个间隔上的三次多项式的系数a、b、c和d。其中a是一阶导数的差分系数，b是二阶导数的差分系数，c是三阶导数的差分系数，d是y值的差分系数。

根据这些系数，我们可以得到每个间隔上的三次多项式的表达式。然后，我们可以通过在每个间隔上进行插值来获得给定x值处的y值。

最后，通过将所有的插值结果组合在一起，我们可以得到一条光滑的曲线，该曲线通过所有给定的数据点。

总结起来，三次样条插值算法通过计算辅助参数和多项式的系数，实现数据点之间的插值拟合。该方法能够生成光滑的曲线，适用于各种数据拟合和插值问题。

相关问题

三次样条插值算法c++

三次样条插值是一种基于数学函数的插值技术，常用于数据拟合和光滑曲线生成。在 C++ 中，我们可以使用泰勒级数或者贝塞尔曲线来实现三次样条插值。以下是基本步骤：

1. 定义控制点：通常需要四个已知点 (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), 和 (x3, y3)，它们作为样条的节点。

2. 计算分段基函数：对于每个控制点，计算两个连续的基函数 S0(t) 和 S1(t)，它们是通过构建一个三阶多项式来表示样条的一段。

3. 组装全局函数：将各个基函数拼接起来，形成全局的三次样条函数，它会在 t = [0, 1] 区间内对所有控制点进行平滑连接。

4. 插值：给定一个 x 值，通过线性搜索找到最近的控制点区间，然后使用该区间的样条函数来计算对应的 y 值。

C++ 代码示例（简化版）：

#include <cmath>

struct ControlPoint {
    double x, y;
};

double bspline_basis(double t, int i, const ControlPoint points) {
    // ... 依据公式计算贝塞尔基函数...
}

ControlPoint cubic_spline_interpolate(double x, const ControlPoint points) {
    double t = (x - points.x) / (points.x - points.x);
    return {points.x + bspline_basis(t, 0, points) * (points.x - points.x),
            points.y + bspline_basis(t, 0, points) * (points.y - points.y)};
}

// 使用时，传递控制点数组并查询插值点
int main() {
    ControlPoint points[] = {{0, 0}, {1, 1}, {2, 2}, {3, 3}};
    double interpolated_x = 1.5; // 要插值的 x 值
    ControlPoint result = cubic_spline_interpolate(interpolated_x, points);
    // 输出插值结果...
}

三次样条插值算法c++图形

### C++ 中实现三次样条插值算法并应用于图形处理

#### 使用 Easy3D 库进行三次样条插值

在三维图形渲染领域，为了生成平滑的曲线，通常会采用三次样条插值方法。这种方法能够确保曲线不仅通过给定的数据点，而且在其间保持连续性和光滑度[^3]。

下面是一个简单的例子，展示如何利用 `Easy3D` 库来创建一条经过多个控制点的平滑路径：

#include <easy3d/core/curve.h>
#include <easy3d/util/spline_interpolator.h>

// 定义一些测试数据点作为输入
std::vector<vec3> points = {
    vec3(0, 0, 0),
    vec3(1, .5, -.5),
    vec3(.7, 1., 1.),
    vec3(-.7, .8, 1.2),
    vec3(-1., .4, .5)
};

Curve curve;
SplineInterpolator interpolator;

for(auto& p : points){
    curve.add_vertex(p);
}

interpolator.set_curve(&curve);

// 设置参数 t 的范围为 [0, 1], 并计算中间位置处的新坐标
double t_min = 0.;
double t_max = 1.;
int num_samples = 10; // 插入更多样本点以获得更精细的结果
double delta_t = (t_max -1);

for(int i=0;i<num_samples;++i){
    double current_t = t_min + i*delta_t;
    auto interpolated_point = interpolator.interpolate(current_t);
    
    std::cout << "Interpolated Point at t=" << current_t 
              << ": (" << interpolated_point.x() << ", "
              << interpolated_point.y() << ", "
              << interpolated_point.z() << ")" << std::endl;
}

此代码片段展示了如何定义一系列空间中的点，并使用这些点构建一个可以被插值得到新坐标的曲线对象。这里的关键在于调用了 `SplineInterpolator::interpolate()` 函数来进行实际的插值操作。

对于具体的数学表达式，在求解过程中涉及到的一阶导数可以通过如下方式表示：
\[ d_i=\frac{c_{i+1}-c_i}{3h_i}\][^4]