三次样条插值算法 c++实现

三次样条插值算法是一种用于数据拟合和插值的数值方法，它通过构造一条光滑的三次多项式曲线来插值给定的数据点。

首先，我们需要给定一组已知的数据点，例如(x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn)。然后，我们需要计算每个数据点之间的间隔h和y值的差值Δy。

接下来，我们要计算两个重要的辅助参数：u和λ。其中，u是一个长度为n-1的向量，表示x值之间的比例差。而λ是一个长度为n-1的向量，表示每个间隔对应的方程的系数。

然后，我们可以利用这些参数来计算每个间隔上的三次多项式的系数a、b、c和d。其中a是一阶导数的差分系数，b是二阶导数的差分系数，c是三阶导数的差分系数，d是y值的差分系数。

根据这些系数，我们可以得到每个间隔上的三次多项式的表达式。然后，我们可以通过在每个间隔上进行插值来获得给定x值处的y值。

最后，通过将所有的插值结果组合在一起，我们可以得到一条光滑的曲线，该曲线通过所有给定的数据点。

总结起来，三次样条插值算法通过计算辅助参数和多项式的系数，实现数据点之间的插值拟合。该方法能够生成光滑的曲线，适用于各种数据拟合和插值问题。

相关问题

样条插值算法的C++ 实现

下面是一个简单的样条插值算法的C++实现：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// 样条插值算法
double spline_interpolation(const vector<double>& x, const vector<double>& y, double xx) {
    int n = x.size();
    vector<double> h(n), u(n), v(n), z(n + 1);
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        h[i] = x[i + 1] - x[i];
        u[i] = (y[i + 1] - y[i]) / h[i];
    }
    for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
        v[i] = 2 * (h[i - 1] + h[i]);
        z[i] = 6 * (u[i] - u[i - 1]);
    }
    z[0] = z[n - 1] = 0;
    for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
        double t = h[i - 1] / v[i - 1];
        v[i] -= t * h[i - 1];
        z[i] -= t * z[i - 1];
    }
    for (int i = n - 2; i > 0; i--) {
        double t = h[i] / v[i];
        z[i] -= t * z[i + 1];
    }
    int k = 0;
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        if (x[i] <= xx && xx <= x[i + 1]) {
            k = i;
            break;
        }
    }
    double t = (xx - x[k]) / h[k];
    double b = (y[k + 1] - y[k]) / h[k] - h[k] * (z[k + 1] + 2 * z[k]) / 6;
    double c = z[k] / 2;
    double d = (z[k + 1] - z[k]) / (6 * h[k]);
    double s = y[k] + t * (b + t * (c + t * d));
    return s;
}

int main() {
    vector<double> x = {1, 2, 3, 4};
    vector<double> y = {2.7183, 7.3891, 20.0855, 54.5982};
    double xx = 2.5;
    double yy = spline_interpolation(x, y, xx);
    cout << "f(" << xx << ") = " << yy << endl;
    return 0;
}

其中，`x`和`y`分别为已知的数据点的横坐标和纵坐标，`xx`为待求的插值点的横坐标，`spline_interpolation`函数返回插值点的纵坐标。

这个实现使用了三次样条插值算法，通过求解一个三角线性方程组来确定样条函数的系数。具体步骤可参考算法书籍或论文。

用c++实现三次样条插值的算法

以下是C语言实现三次样条插值的算法的示例代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

#define N 100

double x[N], y[N], h[N], b[N], u[N], v[N], z[N], c[N], d[N];

void spline(int n)
{
    int i, k;
    double p, qn, sig, un;

    // step 1
    for (i = 1; i < n; i++)
        h[i] = x[i] - x[i-1];

    // step 2
    for (i = 2; i < n; i++)
    {
        sig = h[i-1] / (h[i-1] + h[i]);
        p = sig * u[i-1] + 2.0;
        u[i] = (sig - 1.0) / p;
        b[i] = (y[i] - y[i-1]) / h[i] - (y[i-1] - y[i-2]) / h[i-1];
        b[i] = (6.0 * b[i] / (h[i-1] + h[i]) - sig * b[i-1]) / p;
    }

    // step 3
    qn = 0.0;
    un = 0.0;
    c[n-1] = 0.0;
    for (k = n-2; k >= 1; k--)
    {
        c[k] = u[k] * c[k+1] + b[k];
        z[k] = (c[k+1] - c[k]) / h[k];
        qn = (z[k+1] - z[k]) / (h[k] + h[k+1]) - u[k] * qn;
        un = u[k] * un + z[k];
    }

    // step 4
    for (i = 1; i < n; i++)
    {
        d[i] = (c[i] - c[i-1]) / (3.0 * h[i]);
        v[i] = 2.0 * (x[i] - x[i-1]) - h[i-1] * d[i-1];
        b[i] = (y[i] - y[i-1]) / (x[i] - x[i-1]) - h[i-1] * (c[i-1] + 2.0 * d[i-1]) / 3.0;
        a[i] = (c[i-1] - d[i-1] * h[i-1] * h[i-1] - b[i-1] * h[i-1]) / v[i];
    }
}

double spline_eval(double xx, int n)
{
    int i, j, k;
    double dx, y;

    j = 0;
    k = n - 1;
    while (k - j > 1)
    {
        i = (j + k) >> 1;
        if (x[i] > xx)
            k = i;
        else
            j = i;
    }

    dx = xx - x[j];
    y = a[j] + dx * (b[j] + dx * (c[j] + dx * d[j]));
    return y;
}

int main(void)
{
    int n, i;
    double xx, yy;

    printf("Enter the number of data points: ");
    scanf("%d", &n);
    printf("Enter the data points:\n");
    for (i = 0; i < n; i++)
        scanf("%lf%lf", &x[i], &y[i]);

    spline(n);

    printf("Enter the point at which to evaluate the spline: ");
    scanf("%lf", &xx);
    yy = spline_eval(xx, n);
    printf("The value of the spline at %g is %g\n", xx, yy);

    return 0;
}

该代码实现了三次样条插值算法的主要步骤，包括计算 $h_i$、$u_i$、$b_i$、$c_i$、$d_i$ 等参数，并提供了一个函数 `spline_eval` 用于计算给定点的插值结果。在使用该代码时，首先需要输入数据点的数量和坐标，然后调用 `spline` 函数计算插值参数，最后通过调用 `spline_eval` 函数计算给定点的插值结果。