C++ IEEE 754单精度浮点

IEEE 754标准是计算机表示实数的标准，它定义了单精度浮点数（float）的数据结构和运算规则。在C++中，单精度浮点数占用32位二进制，分为三个部分：

1. **阶码**（Exponent）：占据了8位，包括一个隐藏的bias（通常为127），用于存储数值的指数部分。实际的指数范围是从-126到+127，代表从1×2^-126到1×2^127。

2. **符号位**（Sign）：1位，用于表示数值的正负。

3. **尾数**（Mantissa）：23位，也称为小数部分或 significand，它存储了数值的精确值。对于非零值，尾数前有一个隐含的1，所以实际可用的位数是23位。

例如，数字0.125的单精度浮点表示会是这样的：
- 符号：+ （正）
- 阶码：01111111 (二进制) - 去掉隐藏偏置后是127，对应于1乘以2的-2次方。
- 尾数：1.00000000... (二进制，以1.开头的23位全1)

C++提供了`std::binary_float`或`union`等方式访问这些内部细节，但在编程中一般通过内置的数学库函数如`std::float_value`、`std::frexp`等处理浮点运算。

相关问题

ieee754单精度浮点运算

### 单精度浮点数运算规则

单精度浮点数遵循IEEE 754标准，该标准定义了浮点数的表示方式以及算术操作的行为。对于单精度浮点数而言，其结构由三部分组成：1位符号位、8位指数位和23位尾数位。

#### 加法与减法

当执行加法或减法时，两个操作数需先调整到相同的阶码（exponent），即对齐小数点位置。具体过程如下：

- 如果两数的指数不同，则较小的那个数要向较大的那个数看齐；
- 对于被调整的小数，需要右移相应的位置来补偿指数的增长；
- 尾数相加之后可能产生溢出的情况，此时应进行规格化处理并更新指数[^1]。

// C++ example for adding two single precision floats
#include <iostream>
using namespace std;

union FloatBits {
    float f;
    unsigned int i;
};

void add_floats(float a, float b){
    union FloatBits fa{a}, fb{b};
    
    // Align exponents and mantissas here...
}

#### 乘法与除法

在做乘法的时候，直接把两个数的尾数相乘，并将它们各自的指数相加以得到最终的结果；而除法则相反，是通过相除的方式计算新尾数并将分母的指数从分子中扣除获得新的指数值。需要注意的是，在这两种情况下都需要考虑舍入误差的影响。

#### 特殊情况处理

除了正常的数值之外，还需要特别注意一些特殊情况下的行为，比如无穷大（Infinity）、非数字（NaN）等特殊编码形式。这些特殊的编码允许程序能够优雅地处理诸如0/0这样的未定义表达式而不至于崩溃退出。