蒙特卡洛算法计算圆周率π

### 使用蒙特卡洛方法计算圆周率π

#### 方法概述
蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的数值计算技术，可以用于估算复杂系统的特性。为了估算圆周率π，在单位正方形内绘制一个四分之一的单位圆。通过比较落在圆内的点数与总点数的比例，可推算出π的值。

#### 实现思路
假设有一个边长为1的正方形及其内部的一个半径为0.5的四分之一圆形区域。如果在这个正方形区域内均匀分布大量的随机点，则这些点落入该四分之一圆的概率等于其面积比例，即\( \frac{\pi}{4} \)[^3]。因此，可以通过统计实验中的频率来估计理论上的概率，并由此求得π的近似值。

#### Python代码示例
下面是一段简单的Python程序，它实现了上述描述的过程：

import random

def estimate_pi(num_samples):
    inside_circle = 0
    
    for _ in range(num_samples):
        x, y = random.uniform(-1, 1), random.uniform(-1, 1)
        
        if (x ** 2 + y ** 2) <= 1:
            inside_circle += 1
            
    pi_estimate = (inside_circle / num_samples) * 4
    return pi_estimate

print(f'Estimated Pi value with {1_000_000:,d} samples is:', estimate_pi(1_000_000))

这段代码定义了一个名为`estimate_pi()`函数，接受参数`num_samples`表示要生成多少个随机样本点来进行测试；接着循环创建指定数量的二维坐标(x,y)，并判断它们是否位于以原点为中心、半径为1的圆内；最后根据落在圆内的点占总数目的百分比乘以4得出π的估值[^2]。