求解PCA问题，设原样本X的协方差矩阵对应的d个特征值组成的投影矩阵变换为W，若每个样本围绕点p顺时针旋转θ，求解变换后的样本对应的W

假设原始数据矩阵X的维度为(n, d)，其中n为样本个数，d为特征维数。设数据X的协方差矩阵为C，对应的特征向量矩阵为E，特征值矩阵为λ。则PCA的投影矩阵变换为W=E[:,:k]，其中k为保留的主成分个数。

现在需要对每个样本围绕点p顺时针旋转θ，假设旋转后的样本矩阵为X'，则有：

X' = (X - p) * R(θ) + p

其中R(θ)为旋转矩阵，表示绕点p顺时针旋转θ角度的变换矩阵。对于二维空间中的旋转，可以表示为：

R(θ) = [[cosθ, -sinθ], [sinθ, cosθ]]

对于高维空间中的旋转，也可以采用类似的方式进行计算。

将旋转后的样本矩阵X'代入PCA的投影矩阵变换中，得到变换后的样本矩阵Y：

Y = X' * W

将X'代入上式中，得到：

Y = ((X - p) * R(θ) + p) * W

展开后得到：

Y = X * W * R(θ) + (p - X * W) + p * W

因此，变换后的样本对应的投影矩阵为：

W' = W * R(θ)

其中R(θ)为绕点p顺时针旋转θ角度的旋转矩阵。

相关问题

求解PCA问题，设原样本X的协方差矩阵对应的d个特征值组成的投影矩阵变换为W，若每个样本乘以放大率a，求解变换后的样本对应的W’

假设原样本矩阵X为 $n \times d$ 的矩阵，其中 $n$ 表示样本数，$d$ 表示每个样本的特征数。协方差矩阵为 $d \times d$ 的矩阵，由于是对称矩阵，因此可以进行特征值分解，得到特征值矩阵 $\Lambda$ 和特征向量矩阵 $V$：

$$
\Sigma = X^T X \qquad \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_d) \qquad V = [v_1, v_2, \ldots, v_d]
$$

其中，$\lambda_i$ 表示协方差矩阵的第 $i$ 个特征值，$v_i$ 表示对应的特征向量。特征向量按照对应的特征值从大到小排列。

投影矩阵变换为 $W = [v_1, v_2, \ldots, v_k]$，其中 $k$ 表示保留的主成分个数。这里假设保留前 $k$ 个主成分，因此 $W$ 是 $d \times k$ 的矩阵。

对于每个样本 $x_i$，乘以放大率 $a$ 后，变为 $a x_i$。对其进行 PCA 变换，首先需要将其中心化：

$$
x_i^{\prime} = x_i - \bar{x}
$$

其中，$\bar{x}$ 表示样本均值向量。假设样本均值向量为 $\bar{x} = [m_1, m_2, \ldots, m_d]$，则中心化后的样本为：

$$
\begin{aligned}
x_i^{\prime} &= x_i - \bar{x} \\
&= [x_{i1} - m_1, x_{i2} - m_2, \ldots, x_{id} - m_d]
\end{aligned}
$$

然后将中心化后的样本乘以投影矩阵 $W$，即可得到变换后的样本：

$$
x_i^{\prime\prime} = x_i^{\prime} W
$$

但是，由于每个样本乘以了放大率 $a$，因此变换后的样本也需要乘以相应的放大率 $a$，即：

$$
x_i^{\prime\prime\prime} = a x_i^{\prime\prime} = a x_i^{\prime} W
$$

综上所述，每个样本乘以放大率 $a$ 后，变换后的样本对应的投影矩阵为 $W^{\prime} = a W$。

求解PCA问题，设原样本X的协方差矩阵对应的d个特征值组成的投影矩阵变换为W，若每个样本沿向量p方向移动距离s，求解变换后的样本对应的W

设原始样本X的协方差矩阵为C，其特征值为λ1, λ2, ..., λd，对应的特征向量为v1, v2, ..., vd。投影矩阵W的列向量为v1, v2, ..., vk (k<=d)。则变换后每个样本的新坐标为：

y = W^T(x + sp)

其中，x为原始样本的一个样本，s为移动距离，p为移动方向。将x代入上式，得到：

y = W^Tx + sW^Tp

由于W是特征向量矩阵，满足W^TCW = D，其中D为对角矩阵，对角线元素为特征值。将其代入上式，得到：

y = DW^Tv + sW^Tp

因此，只需要求出投影矩阵W和移动方向p，即可计算每个样本在新坐标系下的坐标。其中，投影矩阵W的计算可以通过特征值分解协方差矩阵得到；移动方向p可以任意指定。