PCA变换的数学原理推导

PCA（Principal Component Analysis，主成分分析）是一种基于线性代数的数据降维算法。其目的是通过将原始数据映射到新的坐标系上，使得数据在新的坐标系下的方差最大，从而找到数据的主要特征。下面是PCA的数学原理推导：

假设有样本集 $X=\{ x_1,x_2,\cdots,x_n \}$，其中每个样本 $x_i \in \mathbb{R}^d$，现在我们希望将原始数据映射到一个新的坐标系上，使得数据在新的坐标系下的方差最大。设新的坐标系为 $\{ w_1,w_2,\cdots,w_d \}$，其中每个 $w_i$ 是一个长度为 $d$ 的向量。

首先，我们需要对原始数据进行中心化，即将每个样本减去均值，得到新的样本集 $X'=\{ x_1',x_2',\cdots,x_n' \}$，其中 $x_i' = x_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n x_j$。

接下来，我们需要找到一个向量 $w_1$，使得将样本 $X'$ 投影到 $w_1$ 上的方差最大。具体来说，对于每个样本 $x_i'$，它在 $w_1$ 上的投影为 $x_i' \cdot w_1$，则样本集 $X'$ 在 $w_1$ 方向上的方差为：

$$
\begin{aligned}
\mathrm{Var}(X'w_1) &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i' \cdot w_1 - \bar{x}' \cdot w_1)^2 \\
&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n [(x_i' - \bar{x}') \cdot w_1]^2 \\
&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (w_1^T(x_i' - \bar{x}'))^2 \\
&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n w_1^T(x_i' - \bar{x}')(x_i' - \bar{x}')^Tw_1 \\
&= w_1^T\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i' - \bar{x}')(x_i' - \bar{x}')^T\right)w_1 \\
&= w_1^TSw_1
\end{aligned}
$$

其中，$\bar{x}'$ 是样本集 $X'$ 的均值向量，$S$ 是样本集 $X'$ 的协方差矩阵，$w_1$ 是一个单位向量。根据上述式子，我们可以看出，$w_1$ 的方向与样本集 $X'$ 的协方差矩阵 $S$ 的主特征向量相同，因为 $w_1$ 的方向确定后，$\mathrm{Var}(X'w_1)$ 就只与 $S$ 的特征值有关，而特征值最大的方向就是协方差矩阵 $S$ 的主特征向量。

因此，我们可以通过求解样本集 $X'$ 的协方差矩阵 $S$ 的特征值和特征向量，找到 $w_1$ 的方向。具体来说，设 $S$ 的特征值和特征向量分别为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_d$ 和 $v_1,v_2,\cdots,v_d$，则 $w_1$ 的方向为 $v_1$。

接着，我们需要找到下一个向量 $w_2$，使得它与 $w_1$ 垂直，并且将样本集 $X'$ 投影到 $w_1$ 和 $w_2$ 构成的平面上的方差最大。具体来说，对于每个样本 $x_i'$，它在 $w_1$ 和 $w_2$ 构成的平面上的投影为 $(x_i' \cdot w_1, x_i' \cdot w_2)$，则样本集 $X'$ 在 $w_1$ 和 $w_2$ 构成的平面上的方差为：

$$
\begin{aligned}
\mathrm{Var}(X'w_1w_2) &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i' \cdot w_1 - \bar{x}' \cdot w_1)^2 + (x_i' \cdot w_2 - \bar{x}' \cdot w_2)^2 \\
&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n [(x_i' - \bar{x}') \cdot w_1]^2 + [(x_i' - \bar{x}') \cdot w_2]^2 \\
&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (w_1^T(x_i' - \bar{x}'))^2 + (w_2^T(x_i' - \bar{x}'))^2 \\
&= w_1^T\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i' - \bar{x}')(x_i' - \bar{x}')^T\right)w_1 + w_2^T\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i' - \bar{x}')(x_i' - \bar{x}')^T\right)w_2 \\
&= w_1^TSw_1 + w_2^TSw_2
\end{aligned}
$$

由于 $w_1$ 已经确定，因此我们只需要找到一个与 $w_1$ 垂直的向量 $w_2$，使得 $\mathrm{Var}(X'w_1w_2)$ 最大。我们可以通过最大化 $w_2^TSw_2$ 来实现这一点。

具体来说，我们可以定义一个投影矩阵 $P = \begin{bmatrix} w_1 & w_2 \end{bmatrix}$，将样本集 $X'$ 投影到 $w_1$ 和 $w_2$ 构成的平面上，得到新的样本集 $Y = \{ y_1,y_2,\cdots,y_n \}$，其中 $y_i = P^Tx_i'$。则样本集 $Y$ 的协方差矩阵为 $S_Y = \frac{1}{n}YY^T$。我们需要找到一个单位向量 $w_2$，使得 $w_2^TS_Yw_2$ 最大。根据拉格朗日乘数法，可以得到：

$$
S_Yw_2 = \lambda w_2
$$

其中，$\lambda$ 是 $S_Y$ 的特征值。因此，$w_2$ 的方向与 $S_Y$ 的主特征向量相同。由于 $S_Y$ 是对称矩阵，$w_1$ 和 $w_2$ 的方向就是 $S_Y$ 的前两个主特征向量。以此类推，我们可以找到 $d$ 个主成分，从而将原始数据映射到 $d$ 维空间中。

总结一下，PCA 的步骤如下：

1. 对原始数据进行中心化，得到新的样本集 $X'$。
2. 求解样本集 $X'$ 的协方差矩阵 $S$ 的特征值和特征向量。
3. 选择前 $d$ 个特征向量，构成新的坐标系 $\{ w_1,w_2,\cdots,w_d \}$。
4. 将样本集 $X'$ 投影到新的坐标系上，得到新的样本集 $Y$。