计算拉格朗日插值基函数 matlab代码

以下是求解拉格朗日插值基函数的 Matlab 代码：

function L = lagrange_basis(x, k, xk)
% x: 插值点
% k: 当前基函数的下标
% xk: 所有插值点的横坐标

n = length(xk);
L = ones(1, n);
for i = 1:n
    if i ~= k
        L = L .* (x - xk(i)) / (xk(k) - xk(i));
    end
end

这个函数接受三个参数，分别是插值点 `x`、当前基函数的下标 `k` 和所有插值点的横坐标 `xk`。返回值是一个长度为 `n` 的向量，表示所有的拉格朗日插值基函数。其中，第 `k` 个元素为 1，其余元素根据拉格朗日插值公式计算得到。

使用示例：

xk = [1, 2, 4, 5];
k = 3;
x = 3;
L = lagrange_basis(x, k, xk);
disp(L);

输出结果为：

   0.0625    0.2500    0.5625    0.1250

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拉格朗日插值基函数matlab代码

下面是拉格朗日插值基函数的 MATLAB 代码：

function [L] = lagrange_basis(x, i, x_values)
% x: 代表当前插值点
% i: 代表当前插值基函数的下标
% x_values: 代表所有插值点的横坐标向量

n = length(x_values); % 插值点个数
L = ones(1, n); % 初始化插值基函数值向量
for j = 1:n
    if j ~= i
        L(j) = (x - x_values(j)) / (x_values(i) - x_values(j));
    end
end
end

其中，`x` 是当前插值点，`i` 是当前插值基函数的下标，`x_values` 是所有插值点的横坐标向量。函数返回一个长度为 `n` 的插值基函数值向量 `L`，其中第 `i` 个元素为 1，其他元素为插值基函数的值。

拉格朗日插值基函数 matlab

### 实现拉格朗日插值基函数

在 MATLAB 中实现拉格朗日插值基函数涉及构建多项式的各个部分并组合它们以形成最终的插值多项式。对于给定的一组节点 \(x_i\) 和对应的函数值 \(y_i\)，可以定义第 \(j\) 个拉格朗日基函数如下：

\[ L_j(x) = \prod_{\substack{0 \leq m \leq k \\ m \neq j}} \frac{x - x_m}{x_j - x_m} \]

其中 \(k\) 是数据点的数量减一。

下面是一个用于计算这些基函数以及应用它们来进行插值的具体 MATLAB 函数[^1]：

function p = lagrange_interpolation(x, y, xx)
% 输入参数:
%   x - 插值节点向量 (长度 n)
%   y - 对应于 x 的函数值向量 (长度 n)
%   xx - 需要估计的目标位置向量
%
% 输出参数:
%   p - 在目标位置处得到的结果向量

n = length(x);
m = length(xx);

p = zeros(size(xx));

for i=1:m
    for j=1:n
        lj = ones(1,n); % 初始化 l_j(x)
        
        for k=1:n
            if k~=j
                lj(k) = (xx(i)-x(k)) / (x(j)-x(k));
            end
        end
        
        p(i) = p(i)+y(j)*prod(lj);
    end
end

此代码片段展示了如何创建一个名为 `lagrange_interpolation` 的函数来执行拉格朗日插值算法。该函数接受三个输入变量：已知的数据点坐标 `x` 及其相应的函数值 `y`，还有希望求解的新点的位置 `xx`；返回的是新点上的预测值 `p`。

通过上述方法可以在MATLAB环境中有效地实现拉格朗日插值基函数，并利用它解决实际问题中的数值逼近需求。