$y\neq x$什么意思

在 $f(x)=\inf_{y\in S,y\neq x}d(x,y)$ 的定义中，$y\in S$ 表示 $y$ 是集合 $S$ 中的一个元素，而 $y\neq x$ 表示 $y$ 不等于 $x$。也就是说，$f(x)$ 是 $x$ 到集合 $S$ 中除了自身以外的所有元素的距离的下确界。因为自身与自身的距离为 $0$，所以我们需要排除自身，以确保 $f(x)$ 只表示 $x$ 到集合 $S$ 中其他元素的距离。

相关问题

\begin{aligned} |f(x)-f(y)|&=|(\inf_{z\in S,z\neq x}d(x,z))-(\inf_{z\in S,z\neq y}d(y,z))|\ &\leq \inf_{z\in S,z\neq x}d(x,z)+\inf_{z\in S,z\neq y}d(y,z)-2\inf_{z\in S}d(x,y)\ &\leq d(x,y)+d(y,x)-2d(x,y)\ &=|d(x,y)-d(y,x)|\ &\leq d(x,y), \end{aligned}的意思

这个式子是在证明 $f(x)$ 是一个 Lipschitz 连续函数时使用的。具体来说，它表示了当 $x$ 和 $y$ 变化时，$f(x)$ 和 $f(y)$ 之间的差距不会太大，而且差距的上限是 $d(x,y)$。下面逐步解释每一步的含义：

- 第一个等式：根据 $f(x)$ 的定义，$|f(x)-f(y)|$ 可以表示为 $x$ 到集合 $S$ 中除了自身以外的所有元素的距离的下确界与 $y$ 到集合 $S$ 中除了自身以外的所有元素的距离的下确界之间的距离差。因此，$|f(x)-f(y)|$ 可以表示为两个下确界之间的差值。
- 第二个不等式：根据三角不等式，$d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$ 和 $d(y,z) \leq d(y,x) + d(x,z)$，所以 $\inf_{z\in S,z\neq x}d(x,z)+\inf_{z\in S,z\neq y}d(y,z) \leq d(x,y)+d(y,x)+2\inf_{z\in S}d(x,z)$。因为 $\inf_{z\in S}d(x,z) \leq d(x,y)$，所以我们可以得到 $\inf_{z\in S,z\neq x}d(x,z)+\inf_{z\in S,z\neq y}d(y,z) \leq d(x,y)+d(y,x)-2d(x,y)$。
- 第三个不等式：根据 $d(x,y) \geq 0$，我们可以得到 $d(x,y)+d(y,x)-2d(x,y) \leq d(x,y)$。
- 第四个等式：因为 $d(x,y) = d(y,x)$，所以 $|d(x,y)-d(y,x)| = 0$，即 $|d(x,y)-d(y,x)| = d(y,x)-d(x,y)$。
- 最后一个不等式：根据距离的非负性，我们可以得到 $d(y,x)-d(x,y) \leq |d(x,y)-d(y,x)|$。

综合以上步骤，我们可以得到 $|f(x)-f(y)| \leq d(x,y)$，这说明 $f(x)$ 是一个 Lipschitz 连续函数，且 Lipschitz 常数为 $1$。

将下列latex格式翻译为普通格式：$$\int_a^b f(x)K(x,y)g(y)dy=h(x)$$ 其中 $f,g,h$ 都是给定的函数，$K$ 是积分核，$a,b$ 是区间端点。退化核方法是解决这类方程的一种常用方法。 退化核逼近是指，将积分核 $K$ 逼近一个退化核 $K_d$,使得原方程在逼近核下近似成立。退化核 $K_d$ 可以表示为: $$K_d(x,y) = \begin{cases} K(x,y) & \text{if } x=y \ 0 & \text{if } x\neq y \end{cases}$$ 于是原方程可以表示为: $$\int_a^b f(x)K_d(x,y)g(y)dy=h(x)$$ 现在我们需要找到一个退化核 $K_d$,使得该逼近核下原方程成立。对于第二类 Fredholm 积分方程，我们可以使用退化核 $K_d$ 满足: $$K_d(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{if } x=y \ 0 & \text{if } x\neq y \end{cases}$$ 1.这个退化核 $K_d$ 满足以下条件:$K_d$ 在整个区间上是连续的。 2.$K_d(x,\cdot)$ 在 $x$ 的某个邻域内是单调递增的。 3.$K_d(\cdot,y)$ 在 $y$ 的某个邻域内是单调递减的。 这些条件确保了退化核 $K_d$ 能够逼近原积分核 $K$,使得原方程在逼近核下成立。具体地，我们可以将原积分方程改写为: $$\int_a^b f(x)\frac{1}{b-a}g(y)dy=h(x)$$ 将该方程代入退化核逼近中，可以得到一个线性代数方程组: $$\begin{bmatrix} \frac{b-a}{b} & 1 \ 1 & \frac{b-a}{b} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(x) \ g(x) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} h(x) \ 0 \end{bmatrix}$$ 其中 $b$ 是积分区间的长度。该线性代数方程组的解即为退化核逼近的解，也就是原积分方程的一个近似解。

下面是普通格式的翻译：

∫abf(x)K(x,y)g(y)dy=h(x)
其中 f、g、h 都是给定的函数，K 是积分核，a、b 是区间端点。退化核方法是解决这类方程的一种常用方法。退化核逼近是指，将积分核 K 逼近一个退化核 Kd，使得原方程在逼近核下近似成立。退化核 Kd 可以表示为：

Kd(x,y) = {
K(x,y) if x=y
0 if x≠y
}

于是原方程可以表示为：

∫abf(x)Kd(x,y)g(y)dy=h(x)

现在我们需要找到一个退化核 Kd，使得该逼近核下原方程成立。对于第二类 Fredholm 积分方程，我们可以使用退化核 Kd 满足：

Kd(x,y) = {
1/(b-a) if x=y
0 if x≠y
}

1.这个退化核 Kd 满足以下条件: Kd 在整个区间上是连续的。2.Kd(x,·) 在 x 的某个邻域内是单调递增的。3.Kd(·,y) 在 y 的某个邻域内是单调递减的。这些条件确保了退化核 Kd 能够逼近原积分核 K，使得原方程在逼近核下成立。具体地，我们可以将原积分方程改写为：

∫abf(x)(1/(b-a))g(y)dy=h(x)

将该方程代入退化核逼近中，可以得到一个线性代数方程组：

[ (b-a)/b 1 ] [ f(x) ] [ h(x) ]
[ 1 (b-a)/b ] [ g(x) ] = [ 0 ]

其中 b 是积分区间的长度。该线性代数方程组的解即为退化核逼近的解，也就是原积分方程的一个近似解。