问题 B: 01背包问题之2

这道题目是一道经典的 01 背包问题，可以使用动态规划来解决。

定义状态：设 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个物品，背包容量为 $j$ 时的最大价值。

状态转移方程：对于每个物品 $i$，都有两种情况：放入背包和不放入背包。如果将物品 $i$ 放入背包，则当前背包的最大价值为 $dp[i-1][j-w[i]]+v[i]$；如果不放入背包，则当前背包的最大价值为 $dp[i-1][j]$。则转移方程为：

$$dp[i][j]=\max\{dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]\}$$

初始状态：当背包容量为 $0$ 或没有物品可选时，最大价值都为 $0$。

最终结果：$dp[n][m]$ 即为问题的解。

时间复杂度：$O(nm)$。

代码实现如下：

相关问题

c语言实现：输入背包容量，物品数量、价值及重量，利用动态规划法解决0-1背包问题

好的，我来给您讲解一下如何用动态规划法来解决0-1背包问题。

0-1背包问题是指在给定的一组物品中，选择一些物品装入背包，在满足背包最大容量的前提下，使得背包中物品的总价值最大化。其中每个物品只能选择放或不放，不能进行部分放置。

我们可以用动态规划来解决0-1背包问题。具体步骤如下：

1. 定义状态：设f[i][j]为前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。

2. 初始化状态：f[0][j]和f[i][0]均为0，表示前0个物品和容量为0时，所能获取的最大价值均为0。

3. 状态转移方程：对于第i个物品，有两种情况：

a. 不放入背包中：f[i][j] = f[i-1][j]

b. 放入背包中：f[i][j] = f[i-1][j-w[i]] + v[i]

其中，w[i]和v[i]分别表示第i个物品的重量和价值。

综上所述，状态转移方程为：

f[i][j] = max{f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]] + v[i]}

4. 最优解：最终的最大价值为f[n][C]，其中n为物品数量，C为背包容量。

下面是C语言的实现代码：

#include <stdio.h>
#define MAX_N 1000
#define MAX_C 10000

int w[MAX_N], v[MAX_N];
int f[MAX_N][MAX_C];

int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

int main() {
    int n, C;
    scanf("%d%d", &n, &C);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= C; j++) {
            f[i][j] = f[i-1][j];
            if (j >= w[i]) {
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-w[i]] + v[i]);
            }
        }
    }

    printf("%d\n", f[n][C]);
    return 0;
}

希望能对您有所帮助，如有疑问请随时问我。

用C语言解决这个问题：用优先队列分支定界法解决01背包问题

以下是用C语言实现用优先队列分支定界法解决01背包问题的代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 定义物品结构体
typedef struct {
    int weight; // 物品重量
    int value; // 物品价值
    int bound; // 上界
} Item;

// 定义节点结构体
typedef struct {
    int level; // 节点层数
    int profit; // 节点价值
    int weight; // 节点重量
    int bound; // 节点上界
} Node;

// 定义优先队列结构体
typedef struct {
    Node* nodes; // 节点数组
    int size; // 队列大小
    int maxSize; // 队列最大大小
} PriorityQueue;

// 初始化优先队列
PriorityQueue* initPriorityQueue(int maxSize) {
    PriorityQueue* queue = (PriorityQueue*)malloc(sizeof(PriorityQueue));
    queue->nodes = (Node*)malloc(sizeof(Node) * maxSize);
    queue->size = 0;
    queue->maxSize = maxSize;
    return queue;
}

// 入队
void enqueue(PriorityQueue* queue, Node node) {
    int i;
    if (queue->size == 0) {
        queue->nodes[0] = node;
        queue->size++;
    } else {
        for (i = queue->size - 1; i >= 0; i--) {
            if (queue->nodes[i].bound > node.bound) {
                if (i + 1 < queue->maxSize) {
                    queue->nodes[i + 1] = queue->nodes[i];
                }
            } else {
                break;
            }
        }
        if (i + 1 < queue->maxSize) {
            queue->nodes[i + 1] = node;
            queue->size++;
        }
    }
}

// 出队
Node dequeue(PriorityQueue* queue) {
    if (queue->size > 0) {
        Node node = queue->nodes[0];
        int i;
        for (i = 1; i < queue->size; i++) {
            queue->nodes[i - 1] = queue->nodes[i];
        }
        queue->size--;
        return node;
    } else {
        Node node;
        node.level = -1;
        return node;
    }
}

// 交换物品
void swapItem(Item* a, Item* b) {
    Item temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}

// 求上界
int bound(Node node, Item* items, int n, int capacity) {
    if (node.weight >= capacity) {
        return 0;
    }
    int i = node.level + 1;
    int bound = node.profit;
    int weight = node.weight;
    while (i < n && weight + items[i].weight <= capacity) {
        weight += items[i].weight;
        bound += items[i].value;
        i++;
    }
    if (i < n) {
        bound += (capacity - weight) * items[i].value / items[i].weight;
    }
    return bound;
}

// DFS搜索
void dfsKnapsack(Item* items, int n, int capacity, int* bestProfit) {
    PriorityQueue* queue = initPriorityQueue(1000000); // 初始化优先队列
    Node root, left, right;
    root.level = -1;
    root.profit = 0;
    root.weight = 0;
    root.bound = bound(root, items, n, capacity);
    enqueue(queue, root); // 将根节点入队
    while (queue->size > 0) {
        Node node = dequeue(queue); // 出队
        if (node.bound > *bestProfit) { // 判断是否需要搜索
            left.level = node.level + 1;
            left.weight = node.weight + items[left.level].weight;
            left.profit = node.profit + items[left.level].value;
            if (left.weight <= capacity && left.profit > *bestProfit) { // 左儿子可以装入物品
                left.bound = bound(left, items, n, capacity);
                if (left.bound > *bestProfit) { // 左儿子的上界比当前最优解大，将其入队
                    enqueue(queue, left);
                    if (left.profit > *bestProfit) {
                        *bestProfit = left.profit;
                    }
                }
            }
            right.level = node.level + 1;
            right.weight = node.weight;
            right.profit = node.profit;
            right.bound = bound(right, items, n, capacity);
            if (right.bound > *bestProfit) { // 右儿子的上界比当前最优解大，将其入队
                enqueue(queue, right);
            }
        }
    }
}

int main() {
    int n = 5; // 物品数量
    int capacity = 10; // 背包容量
    Item items[] = {{2, 6}, {2, 3}, {6, 5}, {5, 4}, {4, 6}}; // 物品信息
    int bestProfit = 0; // 最大价值
    dfsKnapsack(items, n, capacity, &bestProfit); // 求解
    printf("最大价值为%d\n", bestProfit);
    return 0;
}

以上代码实现了用优先队列分支定界法解决01背包问题。其中，优先队列用于维护搜索节点，节点结构体记录当前搜索状态的信息，物品结构体记录物品的重量和价值等信息。在搜索过程中，每次从优先队列中取出上界最小的节点进行拓展，并计算其左右儿子节点的上界，将上界大于当前最优解的节点入队。最终，搜索到的最大价值即为最优解。