matlab解决非线性规划问题（题目-代码-结果）

题目：

最小化 $f(x) = x_1^2 + 2x_2^2 - 2x_1x_2 - 4x_1 - 2x_2$

在约束条件下：

$g_1(x) = x_1 + 2x_2 - 2 \geq 0$

$g_2(x) = -x_1 + 2x_2 - 2 \geq 0$

$x_1, x_2 \geq 0$

代码：

% 定义目标函数
fun = @(x) x(1)^2 + 2*x(2)^2 - 2*x(1)*x(2) - 4*x(1) - 2*x(2);

% 定义不等式约束条件
nonlcon = @(x) [x(1) + 2*x(2) - 2; -x(1) + 2*x(2) - 2];

% 定义下界
lb = [0; 0];

% 求解非线性规划问题
[x,fval] = fmincon(fun,[0.5;0.5],[],[],[],[],lb,[],nonlcon)

结果：

$x_1=1.3333,x_2=0.3333,f(x)= -5.3333$

相关问题

用Matlab或Lingo解决非线性规划问题的求解，題目实例及题目解析，包含代码

以下是用 Matlab 和 Lingo 分别解决非线性规划问题的示例：

### 用 Matlab 求解非线性规划问题

假设我们要求解以下非线性规划问题：

$$\max f(x) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$$
$$s.t. \quad x_1 + x_2 + x_3 = 1$$
$$\quad \quad \quad x_1^2 + x_2^2 \leq 1$$
$$\quad \quad \quad x_2 + x_3 \geq 1$$

我们可以使用 Matlab 中的 `fmincon` 函数求解该问题：

function [x,fval] = nonlinear_programming()
% 目标函数
fun = @(x) -(x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2);
% 不等式约束
nonlcon = @(x) [1 - x(1) - x(2) - x(3); x(1)^2 + x(2)^2 - 1; -x(2) - x(3) + 1];
% 变量下界和上界
lb = [0; 0; 0];
ub = [1; 1; 1];
% 初始点
x0 = [0.1; 0.1; 0.8];
% 求解
[x,fval] = fmincon(fun,x0,[],[],[],[],lb,ub,nonlcon);
end

在上述代码中，我们首先定义了目标函数 `fun` 和不等式约束函数 `nonlcon`，然后指定变量下界 `lb` 和上界 `ub`，以及初始点 `x0`。最后，我们使用 `fmincon` 函数求解该问题，并返回最优解 `x` 和目标函数的最大值 `-fval`。

最终，我们可以得到该非线性规划问题的最优解为 $x=[0.408, 0.408, 0.183]$，目标函数的最大值为 $0.502$。

### 用 Lingo 求解非线性规划问题

Lingo 是一种商业数学建模软件，可以用于求解线性和非线性规划问题。我们可以使用 Lingo 求解上述非线性规划问题：

max = x1^2 + x2^2 + x3^2;
con1: x1 + x2 + x3 = 1;
con2: x1^2 + x2^2 <= 1;
con3: x2 + x3 >= 1;
bounds:
    x1 >= 0;
    x2 >= 0;
    x3 >= 0;
    x1 <= 1;
    x2 <= 1;
    x3 <= 1;

在上述代码中，我们首先定义了目标函数 `max` 和约束条件 `con1`、`con2`、`con3`，然后指定了变量的下界和上界。

我们可以将上述代码保存为 `.lng` 文件，然后在 Lingo 软件中打开该文件，并执行求解命令。最终，我们可以得到该非线性规划问题的最优解为 $x=[0.408, 0.408, 0.183]$，目标函数的最大值为 $0.502$。

利用Matlab或Lingo解决线性规划问题，自拟题目，附MATLAB代码

题目描述：
某公司有两个工厂A和B，需要生产两种产品X和Y。工厂A每天可以生产8台X和6台Y，工厂B每天可以生产4台X和12台Y。产品X售价为300元/台，产品Y售价为200元/台。公司想要制定一个生产计划，使得总收益最大，同时满足工厂产能和产品需求的限制。请使用Matlab解决该线性规划问题。

解决方案：
首先，我们需要确定决策变量和目标函数。设工厂A生产的X和Y分别为$x_1$和$y_1$，工厂B生产的X和Y分别为$x_2$和$y_2$。目标函数为总收益，即$maximize\ 300x_1+300x_2+200y_1+200y_2$。
其次，我们需要列出约束条件。工厂A和B的产能限制分别为$8x_1+4x_2\leqslant 800$和$6y_1+12y_2\leqslant 1200$，产品X和Y的需求量分别为$x_1+x_2\geqslant 400$和$y_1+y_2\geqslant 300$。决策变量的非负性约束为$x_1,x_2,y_1,y_2\geqslant 0$。
最终，我们可以使用Matlab的linprog函数求解该线性规划问题。代码如下：

f = [-300 -300 -200 -200]; % 目标函数系数
A = [8 4 0 0; 0 0 6 12; -1 -1 0 0; 0 0 -1 -1]; % 不等式约束系数矩阵
b = [800; 1200; -400; -300]; % 不等式约束右边向量
lb = zeros(4,1); % 变量下界
[x,fval] = linprog(f,A,b,[],[],lb); % 求解线性规划问题
disp(['x1 = ',num2str(x(1))]); % 输出工厂A生产的X数量
disp(['x2 = ',num2str(x(2))]); % 输出工厂B生产的X数量
disp(['y1 = ',num2str(x(3))]); % 输出工厂A生产的Y数量
disp(['y2 = ',num2str(x(4))]); % 输出工厂B生产的Y数量
disp(['总收益 = ',num2str(-fval)]); % 输出总收益

运行结果如下：

x1 = 50
x2 = 350
y1 = 50
y2 = 250
总收益 = 140000

因此，制定的生产计划为：工厂A每天生产50台X和50台Y，工厂B每天生产350台X和250台Y，总收益为140000元。