给定一个完整的纸张长为3000mm 宽为1500mm 把它切割成长为373mm宽为201mm的小块 建立数学模型 得到最多的小纸张

我们可以将纸张划分成 $n$ 行，每行 $m$ 列，每个小块的长为 $l$，宽为 $w$。则有以下关系式：

$$
\begin{cases}
n\times l=3000\\
m\times w=1500\\
n\times m\text{ 为最多的小纸张数}\\
\end{cases}
$$

我们的目标是求出最大的 $n\times m$。根据以上三个式子，可以得到：

$$
\begin{cases}
n=\frac{3000}{l}\\
m=\frac{1500}{w}\\
n\times m=\frac{3000}{l}\times\frac{1500}{w}=\frac{4500000}{lw}\\
\end{cases}
$$

因此，我们需要求解的问题可以转化为求解 $\frac{4500000}{lw}$ 的最大值。根据调和均值不等式，有：

$$
\frac{lw}{\frac{1}{2}\left(l+w\right)}\leq\frac{1}{2}\left(l+w\right)
$$

移项可得：

$$
lw\leq\frac{1}{4}\left(l+w\right)^2
$$

代入目标函数中得：

$$
n\times m=\frac{4500000}{lw}\leq\frac{4500000}{\frac{1}{4}\left(l+w\right)^2}=\frac{18000000}{\left(l+w\right)^2}
$$

因此，我们的目标函数可以写成：

$$
f\left(l,w\right)=\frac{18000000}{\left(l+w\right)^2}
$$

接下来，我们需要求解目标函数的最大值。我们可以对目标函数求偏导数，得到：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial l}&=-\frac{36000000}{\left(l+w\right)^3}\\
\frac{\partial f}{\partial w}&=-\frac{36000000}{\left(l+w\right)^3}
\end{aligned}
$$

令偏导数为0，解得 $l=w$。代入目标函数中得到：

$$
n\times m=\frac{18000000}{4l^2}=\frac{225000}{l^2}
$$

因此，当 $l=201$ 时，$n\times m$ 取得最大值，最大值为 $\lfloor \frac{3000}{201}\rfloor\times\lfloor \frac{1500}{373}\rfloor=7\times4=28$。

结论：将长为3000mm、宽为1500mm的纸张切割成长为373mm、宽为201mm的小块，可以得到最多28个小纸张。