蒙特卡罗方法求积分C语言

蒙特卡罗方法是一种基于随机抽样的数值积分方法，它利用大量随机试验来估计复杂函数的积分值。在C语言中，实现蒙特卡罗积分的基本步骤如下：

1. **定义问题和函数**: 首先，你需要定义你要积分的函数以及积分的上下限。例如，如果你要计算的是单位圆内的面积，函数就是`f(x, y) = sqrt(1 - x^2 - y^2)`，而积分区域是`[-1, 1]`对`x`和`y`。

2. **创建随机点**: 使用C标准库中的`rand()`函数生成在指定范围内的随机数对（`x`和`y`）。

3. **检查是否在区域内部**: 对于每个随机点，检查其是否位于给定的区域（如圆内）。可以使用条件判断`if`语句来确定这一点。

4. **计数并累积**: 统计落在区域内的点的数量，并用该数量除以总的随机点数，乘以区域的总面积（例如，4 for 单位正方形），得到近似的积分值。

5. **重复并取平均**: 为了提高精度，重复上述过程多次，每次用新的随机点集，然后取平均值作为最终结果。

以下是简化的C代码示例：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

double square_root(double x) {
    return sqrt(x);
}

double monte_carlo_integration(int num_points, double lower_bound, double upper_bound) {
    srand(time(NULL)); // 初始化随机数种子

    double total_area = (upper_bound - lower_bound) * (upper_bound - lower_bound);
    int inside_count = 0;

    for (int i = 0; i < num_points; i++) {
        double x = (upper_bound - lower_bound) * rand() / RAND_MAX + lower_bound;
        double y = (upper_bound - lower_bound) * rand() / RAND_MAX + lower_bound;
        
        if (square_root(x*x + y*y) <= 1) { // 圆的条件
            inside_count++;
        }
    }

    double estimate = (double)inside_count / num_points * total_area;
    return estimate;
}

int main() {
    int num_trials = 1000000; // 例如，用一百万次随机抽样
    double result = monte_carlo_integration(num_trials, -1, 1);
    printf("Using Monte Carlo method, the estimated area of unit circle is: %.6f\n", result);
    return 0;
}