def normfun(x, mu, sigma): pdf = np.exp(-((x - mu) ** 2) / (2 * sigma ** 2)) / (sigma * np.sqrt(2 * np.pi)) return pdf

这是一个定义正态分布概率密度函数的函数，其中 x 是自变量，mu 是均值，sigma 是标准差。函数返回 x 对应的概率密度值，可以用于计算正态分布的概率密度函数曲线。具体实现是利用公式：$$
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
$$ 其中，$\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差，$e$ 是自然对数的底数。

相关问题

# 定义昂贵的函数 def expensive_func(t): return np.sum(t**2 - 10*np.cos(2*np.pi*t) + 10) # 定义高斯核函数 def gaussian_kernel(x, y, theta): return np.exp(-theta * cdist(x, y)**2) # 定义对数似然函数 def log_likelihood(params, x, y): theta, sigma = params k = gaussian_kernel(x, x, theta) + sigma**2 * np.eye(len(x)) try: L = np.linalg.cholesky(k) except np.linalg.LinAlgError: return -np.inf alpha = np.linalg.solve(L.T, np.linalg.solve(L, y)) return -0.5*y.T.dot(alpha) - np.sum(np.log(np.diag(L))) - 0.5*len(x)*np.log(2*np.pi) # 定义预测函数 def predict(x, y, x0, theta, sigma): k = gaussian_kernel(x, x, theta) + sigma**2 * np.eye(len(x)) k0 = gaussian_kernel(x, x0.reshape(1, -1), theta) k00 = gaussian_kernel(x0.reshape(1, -1), x0.reshape(1, -1), theta) try: L = np.linalg.cholesky(k) except np.linalg.LinAlgError: return np.nan, np.nan alpha = np.linalg.solve(L.T, np.linalg.solve(L, y)) mu = k0.T.dot(alpha) v = k00 - k0.T.dot(np.linalg.solve(L.T, np.linalg.solve(L, k0))) return mu, v # 生成随机数据 np.random.seed(666) X = np.random.uniform(-20, 20, size=(200, 10)) y = np.array([expensive_func(x) for x in X]) # 优化超参数 initial_params = [1, 1] bounds = [(1e-5, None), (1e-5, None)] res = minimize(lambda params: -log_likelihood(params, X, y), initial_params, bounds=bounds) theta, sigma = res.x # 在随机点上进行预测 x0 = np.random.uniform(-20, 20, size=(1, 10)) mu, v = predict(X, y, x0, theta, sigma) # 计算误差 exact_val = expensive_func(x0) error = (exact_val - mu)**2 print("预测误差:", error) print("预测方差:", v)注释一下

这段代码主要实现了使用高斯过程进行回归分析。其中定义了一个昂贵的函数 `expensive_func`，该函数实现了在给定输入的情况下进行昂贵计算的功能。然后定义了一个高斯核函数 `gaussian_kernel`，用于计算输入数据的协方差矩阵。接着定义了对数似然函数 `log_likelihood`，用于计算给定超参数情况下的对数似然值。最后定义了预测函数 `predict`，用于在给定超参数和输入数据的情况下进行预测。在代码中，使用了 `minimize` 函数对超参数进行优化，并使用随机数据进行了预测。最终输出预测误差和预测方差。

def normal(x, mu, sigma): p = 1 / math.sqrt(2 * math.pi * sigma**2) return p * np.exp(-0.5 / sigma**2 * (x - mu)**2)

这是一个用Python定义正态分布函数的例子。该函数接受三个参数：x，mu和sigma，分别代表随机变量x的取值、均值和标准差。函数返回x在正态分布下的概率密度值。具体来说，函数首先计算出正态分布的概率密度函数，然后将x带入该函数中计算出概率密度值并返回。其中，math和numpy是Python中的数学库，分别提供了数学函数和数组操作函数。