系统开环传递函数时间常数表达式

开环传递函数的时间常数表达式取决于系统的特性，不同的系统有不同的时间常数表达式。一般来说，时间常数是指系统从初始状态到达稳态的时间，常用的系统包括一阶惯性系统和二阶惯性系统。下面是它们的时间常数表达式：

一阶惯性系统：τ = L/R，其中 L 是系统的电感，R 是系统的电阻。

二阶惯性系统：τ1 = (R1C1R2C2)^(1/2)/(R1+R2)，τ2 = R2C2，其中 R1、R2 为系统的电阻，C1、C2 为系统的电容。

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常见工程控制系统的开环传递函数

### 常见工程控制系统的开环传递函数

在控制系统理论中，开环传递函数是指从输入到输出之间没有任何反馈路径的情况下的系统传递函数。对于线性定常系统而言，开环传递函数描述了当给定一个输入信号时，在不存在任何反馈的情况下，系统如何响应这一输入[^1]。

通常情况下，开环传递函数可以表示为：

\[ G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} \]

其中 \( Y(s) \) 是输出变量的拉普拉斯变换形式；\( U(s) \) 则代表输入变量经过相同转换后的表达式。

#### 定义与特性

开环传递函数主要用于分析和设计自动控制系统之前的状态。它帮助工程师理解未加入反馈前系统的动态行为以及稳定性特征。值得注意的是，虽然开环配置简单直观，但在实际应用中很少单独使用，因为缺乏自我调节能力使得其性能往往不如闭合回路那样稳定可靠。

#### 示例：比例积分微分控制器 (PID Controller)

考虑一个典型的 PID 控制器作为例子来展示开环传递函数的应用场景之一。假设有一个过程被建模成一阶惯性环节加上时间延迟，则对应的开环传递函数可写作如下形式：

\[ G_{OL}(s)=K_p(1+\frac{T_i}{T_d s})(e^{- \( T_d \): 微分提前角的时间参数；
- \( L \): 过程滞后时间；
- \( τ \): 时间常数。

此方程式展示了如何利用已知的过程特性和所需调整的行为构建相应的开环模型[^2]。

% MATLAB code to create a simple open-loop transfer function model of a first-order system with delay.
num = [1]; % Numerator coefficients
den = conv([1 0], [1 5]); % Denominator coefficients representing tau*s + 1 and e^-Ls approximated by Pade expansion
sys_ol = tf(num, den); % Create the open-loop TF object using numerator & denominator data
pzmap(sys_ol); grid on; title('Pole-Zero Map for Open Loop System');

如何使用MATLAB，给定一个已知的单位负反馈系统的开环传递函数，以及特定的输入信号，计算其对应的单位阶跃响应的稳态误差？

在MATLAB中，计算单位负反馈系统单位阶跃响应的稳态误差通常涉及以下步骤：

1. **系统描述**：首先，你需要提供系统的开环传递函数，这通常是一个多项式或零极点形式的表达式。例如，如果系统是S型传递函数，你可以表示为`num`和`den`两个向量（分子多项式和分母多项式）。

num = [1]; % 开环增益
den = [1, K, 1]; % 其中K是系统的开环增益常数
sys = tf(num, den);

2. **设置反馈系数**：对于负反馈系统，通常需要知道开环增益`K`，它决定了反馈回路的强度。

3. **构建闭环系统**：

   K = your_feedback_gain; % 填入具体的反馈系数
   closed_loop_sys = feedback(sys, -K);

4. **生成阶跃输入信号**：

   u = stepinfo(1); % 单位阶跃信号，幅度为1，开始时间0

5. **求解稳态误差**：
使用`lsim`函数计算系统对阶跃输入的响应，并利用`impulse`函数找到系统的稳态部分（最后的稳定值），然后两者相减得到稳态误差。假设`y`是系统的输出：

   response = lsim(closed_loop_sys, u);
   ss_error = y(end) - 1; % 稳态误差等于输出的终值减去阶跃信号的目标值

6. **结果分析**：稳态误差`ss_error`将告诉你系统在阶跃响应中的最终偏差。

记得替换上述代码中的`your_feedback_gain`为你实际系统中的开环增益，运行上述代码后，`ss_error`就是你需要的答案。