matlab共轭梯度法PRP

### MATLAB 中实现共轭梯度法 PRP 的示例代码

#### 示例代码解释
下面展示了如何在MATLAB中实现Polak-Ribière-Polyak (PRP) 共轭梯度算法。此方法是一种非线性共轭梯度法，广泛用于求解无约束最优化问题。

function [x, fval] = prp_cg(f, grad_f, x0, max_iter, tol)
% 输入参数说明：
% f: 目标函数句柄
% grad_f: 目标函数的梯度句柄
% x0: 初始猜测点
% max_iter: 最大迭代次数
% tol: 收敛公差
    
    % 初始化变量
    n = length(x0);
    x = x0;
    g = grad_f(x);  % 计算初始梯度
    d = -g;         % 设置初始搜索方向为负梯度方向
    k = 0;

    while norm(g) > tol && k < max_iter
        % 使用 Wolfe 条件进行一维搜索来找到步长 alpha
        alpha = line_search_wolfe(f, grad_f, x, d);

        % 更新位置和梯度
        x_new = x + alpha * d;
        g_new = grad_f(x_new);

        % Polak-Ribière-Polyak 参数 beta_k+1 的计算
        beta_prp = dot(g_new - g, g_new) / dot(g, g);
        
        % 如果beta小于零，则设置d=-g；否则按照公式更新d
        if isnan(beta_prp) || isinf(beta_prp) || beta_prp < 0
            d = -g_new;
        else
            d = -g_new + beta_prp * d;
        end
        
        % 准备下一轮循环
        x = x_new;
        g = g_new;
        k = k + 1;
    end
    
    fval = f(x);
end

function alpha = line_search_wolfe(f, grad_f, x, p)
    c1 = 1e-4;
    c2 = 0.9;
    alpha_max = 1;
    
    phi_0 = f(x);
    der_phi_0 = dot(grad_f(x), p);
    
    alpha = min(1.0, abs(der_phi_0));
    phi_alpha = @(a) f(x + a*p);
    der_phi_alpha = @(a) dot(grad_f(x+a*p), p);
    
    while phi_alpha(alpha) > phi_0 + c1*alpha*der_phi_0 ...
          || der_phi_alpha(alpha) < c2*der_phi_0
        alpha = alpha/2;
        if alpha <= eps
            error('Line search failed');
        end
    end
end

这段代码实现了完整的PRP共轭梯度算法，并包含了Wolfe条件下的直线搜索子程序[^2]。该算法接受目标函数`f`及其梯度`grad_f`作为输入，并返回最优解`x`以及对应的最小化后的函数值`fval`。