python 共轭梯度法

时间: 2023-11-15 19:59:53 浏览: 218

python实现共轭梯度法

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### Python 实现共轭梯度法详解 #### 一、共轭梯度法简介共轭梯度法是一种高效的数值优化方法，适用于求解大型线性方程组以及非线性最优化问题。该方法结合了最速下降法和牛顿法的优点，既避免了最速下降法收敛速度慢的问题，也避免了牛顿法需要计算和存储Hessian矩阵的复杂性和计算成本。 **特点：** - **存储需求低：** 不需要额外存储大量中间数据。 - **收敛性好：** 在某些条件下可以保证在有限步内达到最优解。 - **稳定性高：** 对初始点和参数选择不敏感。 - **无需外来参数：** 计算过程中不需要调整额外的参数。 #### 二、算法原理及步骤共轭梯度法的基本思想是在每一步中沿着一个特定的方向进行搜索，这个方向既是对前一步方向的修正，又是与前几步方向共轭的。所谓“共轭”，是指两个向量的乘积为零（对于二次函数来说，即两个方向上的梯度乘积为零）。 **算法步骤：** 1. **初始化：** 设定初始点 \( x_0 \)，初始化搜索方向 \( d_0 = -g_0 \)（其中 \( g_0 \) 是初始点处的梯度）。 2. **线性搜索：** 选择合适的步长 \( \alpha_k \)，通常采用线性搜索方法确定。本文提供了两种线性搜索方法：Goldstein搜索和Wolfe条件搜索。 3. **更新迭代点：** 根据找到的步长更新迭代点 \( x_{k+1} = x_k + \alpha_k d_k \)。 4. **计算新梯度：** 计算新迭代点处的梯度 \( g_{k+1} \)。 5. **更新搜索方向：** 使用公式 \( d_{k+1} = -g_{k+1} + \beta_k d_k \) 更新搜索方向，其中 \( \beta_k \) 是基于当前梯度和前一次梯度的某种计算方式得到的系数。 6. **重复步骤2-5** 直到满足停止准则，例如梯度足够小或达到最大迭代次数。 #### 三、Python 实现根据给定的部分内容，我们可以通过以下步骤来实现共轭梯度法： 1. **导入所需库：** ```python import random import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt ``` 2. **定义线性搜索函数：** - **Goldstein搜索：** ```python def goldstein_search(f, df, d, x, alpham, rho, t): # 算法细节 ... ``` - **Wolfe条件搜索：** ```python def wolfesearch(f, df, d, x, alpham, rho, t): # 算法细节 ... ``` 3. **定义共轭梯度法主函数：** ```python def frcg(fun, gfun, x0): # 参数初始化 maxk = 5000 rho = 0.6 sigma = 0.4 k = 0 epsilon = 1e-5 n = np.shape(x0)[0] itern = 0 W = np.zeros((2, 20000)) f = open("共轭.txt", 'w') while k < maxk: # 主循环体 ... # 更新迭代点 x0 += alpha * dk f.write(str(k) + '' + str(np.linalg.norm(gk)) + "\n") print(k, alpha) g0 = gk d0 = dk k += 1 W = W[:, 0:k+1] # 记录迭代点 return [x0, fun(x0), k, W] ``` 4. **定义目标函数：** ```python def fun(x): return 100 * (x[1] - x[0]**2)**2 + (1 - x[0])**2 ``` 5. **定义梯度函数：** ```python def gfun(x): grad = np.array([2 * (200 * x[0]**3 - 200 * x[0] * x[1] + x[0] - 1), 200 * (x[1] - x[0]**2)]) return grad ``` 6. **调用函数：** ```python result = frcg(fun, gfun, np.array([2.0, 1.0])) print("Optimal point:", result[0]) print("Optimal value:", result[1]) print("Number of iterations:", result[2]) ``` 以上就是Python实现共轭梯度法的详细过程。通过这种方式，我们可以有效地求解复杂的优化问题，并且具有较好的性能表现。

Python共轭梯度法是一种优化算法，用于求解无约束优化问题。它是一种迭代算法，每次迭代都会沿着共轭方向进行优化，从而加快收敛速度。共轭梯度法的优点是可以处理大规模问题，而且不需要存储整个矩阵，只需要存储向量即可。在实现共轭梯度法时，需要确定共轭方向和方向优化步长。Python共轭梯度法可以通过FR-CG、PRP-CG和GD三种方式实现。其中，FR-CG和PRP-CG是两种常用的共轭梯度法，而GD是一种基本的梯度下降法。

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python 共轭梯度法

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