实验四：共轭梯度法程序设计

共轭梯度法是一种高效的非线性优化算法，通常用于解决大规模线性方程组的问题。下面我们将介绍如何使用Python实现共轭梯度法。

首先，我们需要定义一个函数来计算矩阵向量积，这个函数可以使用NumPy库来实现：

import numpy as np

def matvec(A, x):
    return np.dot(A, x)

其中，A是一个n x n的矩阵，x是一个n维向量，返回值是一个n维向量，表示矩阵A和向量x的乘积。

接下来，我们可以编写共轭梯度法的主函数：

def conjugate_gradient(A, b, x, max_iter=1000, tol=1e-6):
    r = b - matvec(A, x)
    p = r
    for i in range(max_iter):
        Ap = matvec(A, p)
        alpha = np.dot(r, r) / np.dot(p, Ap)
        x = x + alpha * p
        r_new = r - alpha * Ap
        if np.linalg.norm(r_new) < tol:
            break
        beta = np.dot(r_new, r_new) / np.dot(r, r)
        p = r_new + beta * p
        r = r_new
    return x

其中，A是一个n x n的矩阵，b是一个n维向量，x是一个初始的n维向量，max_iter是最大迭代次数，tol是收敛精度。函数返回一个n维向量，表示方程组Ax=b的解。

在使用共轭梯度法之前，我们需要先定义一个矩阵A和向量b，这里我们使用随机数生成一个对称正定矩阵和一个随机向量：

n = 10
A = np.random.randn(n, n)
A = np.dot(A, A.T)
b = np.random.randn(n)

现在我们可以调用conjugate_gradient函数来求解方程组Ax=b了：

x0 = np.zeros(n)
x = conjugate_gradient(A, b, x0)
print(x)

这将输出方程组Ax=b的解。

总结一下，共轭梯度法是一种高效的非线性优化算法，通常用于解决大规模线性方程组的问题。在Python中，我们可以使用NumPy库来实现矩阵运算，然后编写共轭梯度法的主函数来求解方程组Ax=b。