上机实验四:共轭梯度法程序设计(MATLAB)

时间: 2023-08-19 20:03:49 浏览: 63
共轭梯度法是求解线性方程组的一种有效方法,MATLAB中提供了相关的函数可以使用。这里我们将介绍如何手动编写共轭梯度法程序。 首先,我们需要明确共轭梯度法的基本思路。共轭梯度法是一种迭代算法,其核心思想是通过利用前一次迭代得到的信息来加速收敛。具体来说,对于一个对称正定的系数矩阵A和一个右端向量b,共轭梯度法的基本步骤如下: 1. 初始化迭代:取一个初始向量x0和残差向量r0=b-Ax0,设置迭代次数k=0。 2. 计算搜索方向:对于第k次迭代,计算搜索方向p_k=r_k,如果k=0,则p_0=r_0;否则,p_k=r_k+beta_k*p_{k-1},其中beta_k是一个系数,定义为beta_k=(r_k'*r_k)/(r_{k-1}'*r_{k-1})。 3. 计算步长:沿着搜索方向p_k移动一个步长alpha_k,使得x_{k+1}=x_k+alpha_k*p_k。 4. 更新残差:计算新的残差r_{k+1}=b-Ax_{k+1}。 5. 检查停止条件:如果满足停止条件(如残差的范数小于某个阈值),则停止迭代;否则,令k=k+1,返回步骤2。 基于以上思路,我们可以编写共轭梯度法的MATLAB程序。下面是一个简单的例子: ```matlab function [x, k] = conjgrad(A, b, x0, tol, maxiter) % 输入参数: % A: 系数矩阵 % b: 右端向量 % x0: 初始向量 % tol: 残差的阈值 % maxiter: 最大迭代次数 % 输出参数: % x: 迭代结束时的解向量 % k: 实际迭代次数 r = b - A * x0; % 初始残差 p = r; % 初始搜索方向 x = x0; % 初始解向量 k = 0; % 初始迭代次数 while norm(r) > tol && k < maxiter alpha = (r'*r) / (p' * A * p); % 计算步长 x = x + alpha * p; % 更新解向量 r_new = r - alpha * A * p; % 计算新的残差 beta = (r_new' * r_new) / (r' * r);% 计算beta p = r_new + beta * p; % 计算新的搜索方向 r = r_new; % 更新残差 k = k + 1; % 更新迭代次数 end end ``` 这个程序定义了一个名为conjgrad的函数,输入参数包括系数矩阵A、右端向量b、初始向量x0、残差阈值tol和最大迭代次数maxiter。输出参数包括迭代结束时的解向量x和实际迭代次数k。 在函数内部,我们首先计算了初始残差r、初始搜索方向p和初始解向量x。然后进入迭代循环,直到满足停止条件为止。在每次迭代中,我们先计算了步长alpha,然后更新了解向量x。接着计算了新的残差r_new和新的搜索方向p,最后更新了残差和迭代次数。在迭代结束后,函数返回最终的解向量和实际迭代次数。 使用这个函数非常简单,只需要提供系数矩阵A、右端向量b和初始向量x0,以及其他参数即可。例如: ```matlab A = [4 -1 0; -1 4 -1; 0 -1 4]; b = [10; 10; 10]; x0 = [0; 0; 0]; tol = 1e-6; maxiter = 100; [x, k] = conjgrad(A, b, x0, tol, maxiter); disp(['迭代次数:', num2str(k)]); disp(['解向量:', num2str(x')]); ``` 这个例子是求解线性方程组Ax=b,其中系数矩阵A是一个对称正定矩阵。我们设置了初始向量x0=[0; 0; 0],残差阈值tol=1e-6和最大迭代次数maxiter=100,然后调用conjgrad函数求解。最后输出了迭代次数和解向量。

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