共轭梯度法python实现

共轭梯度法是一种用于解决最优化问题的迭代方法，特别适用于解决大规模线性方程组的求解问题。下面是Python实现共轭梯度法的简单介绍：

首先，我们需要定义一个目标函数，以及它的梯度函数和哈西矩阵函数。接下来，我们初始化迭代过程中需要用到的变量，包括初始点x0，迭代次数n，以及初始残差r0。初始化方法可以选择随机生成或者其他方法。

然后，我们进入迭代过程。迭代过程中，我们需要计算每一次迭代的搜索方向d和步长alpha。首先，计算当前的梯度g，然后根据上一次迭代的残差r和当前的梯度g计算搜索方向d。接着，根据目标函数的二次形式特性，我们可以直接计算步长alpha。然后，我们更新当前的点x，并计算新的残差r和误差。

迭代过程会一直进行，直到达到指定的迭代次数或者误差小于我们设定的阈值。最后，返回最优的点x。

共轭梯度法是一种非常高效的迭代方法，适用于解决大规模线性方程组的求解问题。Python实现共轭梯度法的代码相对简单，但是需要理解算法的原理以及相关的数学知识。在实际应用中，我们还可以根据具体的问题来对代码进行相应的优化和改进，以提高求解效率和精度。

相关问题

共轭梯度法python实现FR

# FR格式共轭梯度法的Python实现示例
import numpy as np

def FR_CG(x0, A, b, max_iter=100, tol=1e-5):
    x = x0
    r = b - np.dot(A, x)
    p = r
    rsold = np.dot(r, r)
    for i in range(max_iter):
        Ap = np.dot(A, p)
        alpha = rsold / np.dot(p, Ap)
        x = x + alpha * p
        r = r - alpha * Ap
        rsnew = np.dot(r, r)
        if np.sqrt(rsnew) < tol:
            break
        p = r + (rsnew / rsold) * p
        rsold = rsnew
    return x

共轭梯度法python

共轭梯度法是一种用于解决大规模线性方程组的迭代方法。在Python中，可以使用SciPy库中的`scipy.sparse.linalg.cg`函数实现共轭梯度法。该函数接受以下参数：

- `A`：线性方程组的系数矩阵，可以使用`scipy.sparse.csr_matrix`函数创建稀疏矩阵。
- `b`：线性方程组的右侧向量。
- `x0`：迭代初值，通常为全零向量。
- `tol`：迭代终止的误差容限。
- `maxiter`：迭代的最大次数。

下面是一个示例代码：

import numpy as np
from scipy.sparse import csr_matrix
from scipy.sparse.linalg import cg

# 创建系数矩阵
A = csr_matrix([[4, -1, 0, -1], [-1, 4, -1, 0], [0, -1, 4, -1], [-1, 0, -1, 4]])

# 创建右侧向量
b = np.array([0, 5, 0, 5])

# 初值为全零向量
x0 = np.zeros(4)

# 调用共轭梯度法求解
x, info = cg(A, b, x0=x0, tol=1e-6, maxiter=1000)

print("解向量：", x)

在上面的示例中，我们创建了一个4x4的系数矩阵和一个长度为4的右侧向量，并将其作为参数传递给`cg`函数。函数返回两个值：解向量和迭代信息。最终输出解向量。