共轭梯度下降法 python

共轭梯度下降法是一种用于求解线性方程组的迭代算法，它可以比传统的迭代算法更快地收敛到精确解。Python中可以使用SciPy库中的`scipy.sparse.linalg.cg`函数来实现共轭梯度下降法。

下面是一个简单的示例代码：

import numpy as np
from scipy.sparse.linalg import cg

# 构造系数矩阵和常数向量
A = np.array([[3, 2], [2, 6]])
b = np.array([2, -8])

# 定义共轭梯度下降法的迭代函数
def cg_iter(x):
    return A.dot(x)

# 调用共轭梯度下降法函数求解线性方程组
x, info = cg(cg_iter, b)

# 输出解向量和迭代次数
print("Solution vector:", x)
print("Number of iterations:", info["numiter"])

在这个例子中，我们构造了一个2x2的系数矩阵A和一个常数向量b，并定义了一个迭代函数`cg_iter`，它的作用是根据当前解向量x计算出下一步的解向量。然后我们调用`cg`函数来求解线性方程组，返回的解向量x和迭代信息info会被输出到控制台。

需要注意的是，共轭梯度下降法要求系数矩阵A是对称正定的，否则算法可能会发散或收敛缓慢。如果A不是对称正定的，可以考虑使用预处理技术或者其他求解线性方程组的算法。

相关问题

梯度下降算法python

好的，这里给出一个使用梯度下降算法求解多元函数最小值的Python代码：

import numpy as np

def f(x):
    x1, x2 = x
    return x1**2 + x2**2 - 2*x1 - 6*x2 + 6

def df(x):
    x1, x2 = x
    return np.array([2*x1 - 2, 2*x2 - 6])

def gradient_descent(f, df, x0, alpha, eps=1e-6, max_iter=10000):
    x = x0
    for i in range(max_iter):
        grad = df(x)
        if np.linalg.norm(grad) < eps:
            break
        x -= alpha * grad
    return x

x0 = np.array([0, 0])  # 初始值
alpha = 0.1  # 步长
x_min = gradient_descent(f, df, x0, alpha)
print(x_min)

其中，`f`是目标函数，`df`是目标函数的梯度，`x0`是初始值，`alpha`是步长，`eps`是梯度范数的阈值，`max_iter`是最大迭代次数，`x_min`是最小值。

需要注意的是，梯度下降算法求解的最小值可能是局部最小值，而不是全局最小值。因此，在使用梯度下降算法求解时，需要对步长进行合理选择，或者使用其他更加鲁棒的优化方法，如拟牛顿法、共轭梯度法等。

python 共轭梯度法

Python共轭梯度法是一种优化算法，用于求解无约束优化问题。它是一种迭代算法，每次迭代都会沿着共轭方向进行优化，从而加快收敛速度。共轭梯度法的优点是可以处理大规模问题，而且不需要存储整个矩阵，只需要存储向量即可。在实现共轭梯度法时，需要确定共轭方向和方向优化步长。Python共轭梯度法可以通过FR-CG、PRP-CG和GD三种方式实现。其中，FR-CG和PRP-CG是两种常用的共轭梯度法，而GD是一种基本的梯度下降法。