共轭梯度联合反演代码

共轭梯度联合反演是一种优化算法，在地球物理学、地质学等领域的数值模拟中常用，用于解决大型线性系统的问题，尤其是那些矩阵非常稀疏的情况。它的核心思想是通过迭代寻找最小化某个目标函数的解，每次迭代都会利用上一次迭代的方向，并逐渐接近解。

在编写这样的代码时，通常包括以下几个步骤：

1. 初始化：选择一个初始猜测解，设置搜索方向（如随机或梯度方向），初始化共轭向量列表。

2. 应用系统矩阵：计算当前解乘以系统的负导数，即A^T * b，其中A是系数矩阵，b是右端常数项。

3. 更新共轭梯度：如果这是第一次迭代，或者上一次的共轭向量与当前的搜索方向正交，就将其设为当前搜索方向；否则，按照共轭梯度更新规则（如Polak-Ribiere公式）生成新的共轭向量。

4. 线搜索：找到使得目标函数下降最大的步长，通常是沿着共轭方向前进。

5. 检查停止条件：检查是否达到预定的最大迭代次数，或是解的变化足够小。

6. 反演：将新位置作为下一个近似解并返回到第2步，直到满足终止条件为止。

以下是一个简单的Python伪代码示例：

import numpy as np

def conjgrad(A, b, x0, max_iter, tolerance):
    # 初始化
    r = b - A @ x0
    p = r.copy()
    converged = False
    iter_count = 0

    while not converged and iter_count < max_iter:
        alpha = r.dot(r) / p.dot(A @ p)
        x_new = x0 + alpha * p
        r_new = r - alpha * A @ p

        if r_new.norm() < tolerance:
            converged = True
        else:
            beta = r_new.dot(r_new) / r.dot(r)
            p = r_new + beta * p
            r = r_new

        iter_count += 1
        x0 = x_new

    return x_new, iter_count

# 使用例子
A = ... # 导出的稀疏矩阵
b = ... # 目标值向量
x, iterations = conjgrad(A, b, np.zeros_like(b), 1000, 1e-8)