【运动员最佳匹配问题】+排列树解法+剪枝优化

运动员最佳匹配问题是指在给定的n个男运动员和n个女运动员中，找到最佳的n对组合，使得这n对组合的分数和最大。每个男运动员都有一个评分表，记录他对所有女运动员的评分，同样，每个女运动员也有一个评分表，记录她对所有男运动员的评分。匹配的分数是男女之间的互相评分之和。

这个问题可以通过排列树进行求解。排列树是一种搜索树，其中每个节点表示了一个待定的选项，而每个分支代表一个选项的选择。在这个问题中，树的深度为n，每个节点表示了一对男女的匹配情况，分支代表了下一对待匹配的男女。对于每个节点，可以通过计算当前已匹配的男女对的分数和，加上剩余男女之间的最大分数和来估计当前的分数上限。如果当前的分数上限已经小于已知的最大分数和，则可以剪枝掉这个节点，因为它不可能包含最优解。

以下是伪代码实现：

best_score = 0
current_score = 0
matched_pairs = []

def permute(men, women):
    global best_score, current_score, matched_pairs
    
    # 如果已经匹配了n对，更新最优解
    if len(matched_pairs) == len(men):
        best_score = max(best_score, current_score)
        return
    
    # 计算剩余男女之间的最大分数和
    max_possible_score = 0
    for man in men:
        if man not in matched_pairs:
            max_possible_score += max(man.ratings.values())
    for woman in women:
        if woman not in matched_pairs:
            max_possible_score += max(woman.ratings.values())
    
    # 如果当前分数加上剩余分数的最大值小于已知最优解，剪枝
    if current_score + max_possible_score < best_score:
        return
    
    # 选择下一对男女进行匹配
    for man in men:
        if man not in matched_pairs:
            for woman in women:
                if woman not in matched_pairs:
                    matched_pairs.append((man, woman))
                    current_score += man.ratings[woman]
                    current_score += woman.ratings[man]
                    permute(men, women)
                    current_score -= man.ratings[woman]
                    current_score -= woman.ratings[man]
                    matched_pairs.remove((man, woman))

在这个伪代码中，`men`和`women`分别是男女运动员的列表，每个运动员都有一个`ratings`属性，记录他们对其他所有运动员的评分。`best_score`记录了已知的最大分数和，`current_score`记录了当前已匹配的男女对的分数和，`matched_pairs`记录了当前已匹配的男女对。`permute`函数是排列树的递归函数，它会枚举下一对待匹配的男女，计算当前分数上限，判断是否需要剪枝，然后递归地进行搜索。在递归过程中，会更新当前分数和已匹配的男女对，并且在回溯时撤销这些修改。

这个算法的时间复杂度是O(n!)，因为它需要枚举n!种可能的匹配组合。但是，由于有剪枝优化，实际运行时间通常会比这个时间复杂度低得多。