有 nn 个人，第 ii 个人会在第 a_ia i ​ 分钟开始的时候进入房间，在第 b_ib i ​ 分钟结束的时候离开房间，房间里面人最多的时候会有多少个人？房间里面 人最多 这个状态的持续时间是多久？

要确定房间里人最多的时候有多少人，我们需要找到进入和离开时间的交集，并计算交集中的人数最大值。首先，将所有人的进入时间和离开时间进行排序。然后，我们可以使用一个计数器变量来记录当前房间内的人数，并使用一个变量来记录人数最大值。

以下是一个示例的算法：

1. 根据给定的 nn 个人的进入和离开时间，将它们按照进入时间 a_ia i ​ 进行排序。

2. 初始化计数器变量 count = 0 和人数最大值变量 max_count = 0。

3. 遍历排序后的时间数组，对于每一个时间点 t：

- 如果 t 是一个进入时间，则增加 count 的值。
- 如果 t 是一个离开时间，则减少 count 的值。

在进行上述操作后，更新 max_count 的值为 count 和 max_count 中的较大值。

4. 重复步骤 3 直到遍历完所有时间点。

5. 最后，人数最多的状态持续的时间可以通过记录进入和离开时间的交集中的最大人数的时间间隔来确定。

请注意，这只是一个示例算法，并不考虑边界情况和错误处理。实际实现中可能需要添加额外的逻辑来处理这些情况。

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小码哥很喜欢吃蛋糕。某一天，他来到了一条神奇的街上，这里依次开了 nn 家蛋糕店，每家蛋糕店只售卖一种类型的蛋糕。第 ii 家蛋糕店售卖的蛋糕拥有 a_ia i ​ 的饱腹值和 b_ib i ​ 的美味值。 小码哥从第一家蛋糕店开始向前行走。当他到达一个蛋糕店时，若他当前未处于饱腹状态，则会考虑是否吃这家店的蛋糕。若他在第 ii 家店吃了一个拥有 a_ia i ​ 饱腹值的蛋糕，则接下来从第 i+1i+1 到第 i+a_ii+a i ​ 家店他都不会吃任何东西。特别地，若 i+a_ii+a i ​ 大于 nn，则他之后将会一直处于饱腹状态。 小码哥想知道，在满足上述要求的情况下，他能够吃到的蛋糕的美味值之和最大可以是多少。

小码哥来到了一条有 nn 家蛋糕店的街上，每家店都只售卖一种蛋糕，第 ii 家店售卖的蛋糕有 a_ia i ​ 的饱腹值和 b_ib i ​ 的美味值。他从第一家店开始向前走，当他到达一家店时如果未处于饱腹状态就会考虑吃这家店的蛋糕。如果他在第 ii 家店吃了一个 a_ia i ​ 饱腹值的蛋糕，那么从第 i 1i 1 到第 i a_ii a i ​ 家店他都不会再吃任何东西。他想知道在满足上述要求的情况下，他能够吃到的蛋糕的美味值之和的最大值是多少。