正态分布的费舍尔信息矩阵

对于正态分布，其费舍尔信息矩阵为：

$I(\theta) = -\mathbb{E}\left[\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\log f(X;\theta)\right]$

其中，$f(X;\theta)$为正态分布的概率密度函数，$\theta$为分布的参数。

对于正态分布，其概率密度函数为：

$f(X;\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{(X-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}$

对其取对数，得到：

$\log f(X;\mu,\sigma^2) = -\frac{1}{2}\log(2\pi\sigma^2) - \frac{(X-\mu)^2}{2\sigma^2}$

对其求一阶和二阶导数，得到：

$\frac{\partial}{\partial\mu}\log f(X;\mu,\sigma^2) = \frac{X-\mu}{\sigma^2}$

$\frac{\partial}{\partial\sigma^2}\log f(X;\mu,\sigma^2) = -\frac{1}{2\sigma^2} + \frac{(X-\mu)^2}{2\sigma^4}$

$\frac{\partial^2}{\partial\mu^2}\log f(X;\mu,\sigma^2) = -\frac{1}{\sigma^2}$

$\frac{\partial^2}{\partial\sigma^2}\log f(X;\mu,\sigma^2) = \frac{1}{2\sigma^4} - \frac{(X-\mu)^2}{\sigma^6}$

$\frac{\partial^2}{\partial\mu\partial\sigma^2}\log f(X;\mu,\sigma^2) = \frac{X-\mu}{\sigma^4}$

代入费舍尔信息矩阵的公式中，得到：

$I(\mu,\sigma^2) = \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sigma^2} & 0 \\
0 & \frac{1}{2\sigma^4} - \frac{(X-\mu)^2}{\sigma^6}
\end{pmatrix}$

因此，正态分布的费舍尔信息矩阵为一个2x2的矩阵。其中，第一个元素为$\frac{1}{\sigma^2}$，表示对于$\mu$的估计精度；第二个元素为$\frac{1}{2\sigma^4} - \frac{(X-\mu)^2}{\sigma^6}$，表示对于$\sigma^2$的估计精度。