证明二元可微函数z是形如ax+by的函数的充分必要条件是a乘以z对y的偏导=b乘以z对x的偏导

充分必要条件的证明如下：

必要性证明：

假设z是形如ax+by的函数，则有：

$$
\frac{\partial z}{\partial x} = a
$$

$$
\frac{\partial z}{\partial y} = b
$$

根据链式法则，有：

$$
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial y}
$$

将上面的式子代入到我们的假设中，得到：

$$
b = a \cdot \frac{\partial x}{\partial y} + b \cdot 1
$$

移项得到：

$$
a \cdot \frac{\partial x}{\partial y} = b - b = 0
$$

因此，我们得到了必要条件：如果z是形如ax+by的函数，则a乘以z对y的偏导等于b乘以z对x的偏导。

充分性证明：

假设a乘以z对y的偏导等于b乘以z对x的偏导，即：

$$
a \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = b \cdot \frac{\partial z}{\partial x}
$$

我们可以把上面的式子变形为：

$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{a}{b} \cdot \frac{\partial z}{\partial y}
$$

这表明z对x的偏导数可以表示为z对y的偏导数和常数a/b的乘积，这是一个标准的一阶线性偏微分方程。根据一阶线性偏微分方程的求解方法，我们可以得到：

$$
z = f(y) \cdot \frac{a}{b} \cdot x + g(y)
$$

其中f(y)和g(y)分别是z对y的偏导数和z在y方向上的积分常数。

因此，我们得到了充分条件：如果a乘以z对y的偏导等于b乘以z对x的偏导，则z是形如ax+by的函数。