minS Tr(QTLQ) s.t.Q^TQ=I 其中L是拉普拉斯矩阵，为什么等价于minS i,j=1到n ||qi − qj ||2sij

这个问题涉及到矩阵分解和谱聚类的一些基本知识。

首先，拉普拉斯矩阵L是一个对称半正定矩阵，它的特征向量可以用来进行谱聚类。具体地，设L的特征向量为q1, q2, ..., qn，对应的特征值为λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λn，则可以将特征向量按照特征值从小到大排列，取前k个特征向量组成矩阵Q=[q1, q2, ..., qk]，然后对Q进行标准化，得到矩阵Z，即Z=Q(Diag(λ1, λ2, ..., λk))^(-1/2)，其中Diag(λ1, λ2, ..., λk)是一个对角矩阵，对角线上的元素是λ1, λ2, ..., λk。最后，对Z进行k-means聚类，即可得到谱聚类的结果。

接下来，我们考虑最小化目标函数Tr(QTLQ)的等价形式。根据矩阵的迹性质，有Tr(QTLQ) = ∑i,j Lij||qi - qj||^2。将Q的第i列记为qi，则可以将目标函数重写为∑i,j sij||qi - qj||^2，其中sij=0或1表示第i个样本和第j个样本是否相似。因此，最小化目标函数Tr(QTLQ)等价于最小化目标函数∑i,j sij||qi - qj||^2。

综上所述，最小化目标函数Tr(QTLQ)与最小化目标函数∑i,j sij||qi - qj||^2等价，都可以用来进行谱聚类。