请证明一下期望值等于均值
时间: 2024-05-31 15:12:20 浏览: 63
设一个随机变量 X 可能取到的值为 x1, x2, ..., xn,对应的概率为 p1, p2, ..., pn。则该随机变量 X 的期望值 E(X) 定义为:
E(X) = Σ(xi * pi) (i=1,2,...,n)
即每个可能取到的值与其对应的概率的乘积之和。
而该随机变量 X 的均值 μ 定义为:
μ = (x1 + x2 + ... + xn) / n
即所有可能取到的值的总和除以可能取到的值的个数。
现在我们来证明 E(X) = μ。
证明:
E(X) = Σ(xi * pi) (i=1,2,...,n)
= x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn
= (x1 + x2 + ... + xn) * (p1 + p2 + ... + pn) / n (将分子和分母同时乘以 n)
= (x1 + x2 + ... + xn) / n * (p1 + p2 + ... + pn) = μ * 1 (因为概率的和等于 1)
= μ
因此,期望值等于均值。
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