采用主方法求解以下递归方程：T(n)=1 当n=1时 T(n)=4T(n/2)+n^2 当n>1时

根据主方法，递归方程可以表示为：T(n) = aT(n/b) + f(n)，其中a = 4, b = 2，f(n) = n^2。

根据主定理的第一种情况，如果f(n) = O(n^c)且logb(a) < c，则T(n) = Θ(n^c)。

对于这个递归方程，c = 2，因为f(n) = n^2。logb(a) = log2(4) = 2，也小于c。因此，我们可以得出：T(n) = Θ(n^2)。

因此，递归方程的解为T(n) = Θ(n^2)。

相关问题

采用递归树求解以下递归方程：T(1)=1 T(n)=4T(n/2)+n

递归方程：T(1)=1 T(n)=4T(n/2) n>1

首先，我们可以画出递归树来帮助我们求解该递归方程。
对于递归方程 T(n) = 4T(n/2)，我们可以将其表示成以下递归树：

T(n)
/ \
T(n/2) T(n/2)
/ \ / \
T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4)
... ... ... ...

我们可以看到，每一层的节点数为原来的一半，即第 k 层有 2^(k-1) 个节点，因此，我们可以得到该递归树共有 log(n) 层。因此，我们可以得到以下公式：
T(n) = 1 + 4 + 4^2 + ... + 4^(log(n)-1) + 4^log(n)

接下来，我们可以使用等比数列求和公式来简化上式：
T(n) = 1 + 4 + 4^2 + ... + 4^(log(n)-1) + 4^log(n)
= (4^log(n+1) - 1)/(4-1) （等比数列求和公式）
= (2n-1)

因此，最终结果为 T(n) = 2n - 1。

采用递归树求解以下递归方程；T(1)=1 T(n)=4T(n/2)+n 当n>时

我们先列出递归树：

第一层：T(n)
第二层：4T(n/2), 4T(n/2)
第三层：16T(n/4), 16T(n/4), 16T(n/4), 16T(n/4)
......
第i层：4^i T(n/2^i)个节点，每个节点的值为4^i T(n/2^i)

最后一层有T(1)个节点，单个节点的值为1。

根据递归方程的性质，当n>1时，T(n) = 4T(n/2) = 16T(n/4) = ... = 4^k T(n/2^k)，其中2^k <= n < 2^(k+1)。

将T(n)最后一层到根节点路径上各节点的值累加起来，得到：

T(n) = 4^0 T(n/2^0) + 4^1 T(n/2^1) + 4^2 T(n/2^2) + ... + 4^k T(n/2^k)
= T(n/1) + 4T(n/2) + 4^2 T(n/4) + ... + 4^k T(n/2^k)

将式子中的k替换成log2 n，得到：

T(n) = T(n/1) + 4T(n/2) + 4^2 T(n/4) + ... + 4^(log2 n) T(n/2^log2 n)

化简一下：

T(n) = T(n/1) + 4T(n/2) + 4^2 T(n/4) + ... + 4^(log2 n) T(n/2^(log2 n))
= T(n/2) + 4T(n/2) + 4^2 T(n/2) + ... + 4^(log2 n - 1) T(n/2)
+ 4^(log2 n) T(1)
= (1 + 4 + 4^2 + ... + 4^(log2 n - 1)) T(n/2) + 4^(log2 n) T(1)
= (4^log2 n - 1)/(4 - 1) T(1) + 4^log2 n T(1)
= 3n - 2

因此，T(n) = 3n - 2。