matlab中实现不满秩的矩阵分解成两个共轭矩阵相乘的形式

一个不满秩的矩阵可以用两个共轭矩阵相乘的形式表示为：

$A=UH^* $

其中，$U$是$n \times r$矩阵，$H$是$r \times m$矩阵，$r$是矩阵$A$的秩。

可以使用奇异值分解（SVD）来进行不满秩矩阵的分解。对于一个$m \times n$的矩阵$A$，其SVD分解可以写成：

$A=U\Sigma V^*$

其中，$U$和$V$是共轭矩阵，$\Sigma$是对角线上由奇异值组成的矩阵，且满足$A=U\Sigma V^*$。

如果$A$的秩为$r$，则$\Sigma$的大小为$r \times r$，且只有前$r$个奇异值非零。因此，可以将$\Sigma$分解为两个矩阵：

$\Sigma = \begin{bmatrix} \Sigma_1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

其中，$\Sigma_1$是对角线上前$r$个奇异值组成的$r \times r$矩阵。因此，我们可以将$U$和$V$分解为以下形式：

$U = [U_1,U_2]$

$V = [V_1,V_2]$

其中，$U_1$和$V_1$是由$U$和$V$的前$r$列组成的矩阵，$U_2$和$V_2$是由$U$和$V$的后$n-r$和$m-r$列组成的矩阵。

因此，我们可以将$A$分解为：

$A = U \Sigma V^* = U_1 \Sigma_1 V_1^*$

这就是一个不满秩矩阵分解成两个共轭矩阵相乘的形式。可以在MATLAB中使用SVD函数进行这种分解。