filter 数学公式
时间: 2023-07-19 16:55:34 浏览: 35
在数学中,`filter`常用于信号处理中,用于从信号序列中筛选出感兴趣的部分。`filter`函数通常表示为一个输入序列和一个滤波器(也称为核函数或卷积核),输出为一个滤波后的序列。数学上可以表示为:
$$ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k]x[n-k] $$
其中,$x[n]$表示输入序列,$h[k]$表示滤波器(核函数或卷积核),$y[n]$表示输出序列。
以上公式中,$h[k]$表示滤波器的离散时间表示,$x[n-k]$表示将输入序列$x[n]$向右平移$k$个单位,即$x[n-k]$表示在$n$时刻,输入序列的第$k$个元素的值。通过对输入序列进行平移,并将滤波器作用于每个位置,即可得到滤波后的输出序列$y[n]$。
在实际应用中,滤波器可以是各种形式的函数,如低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等,用于实现不同的信号处理效果。
相关问题
写出无迹卡尔曼滤波器的数学公式
无迹卡尔曼滤波器(Unscented Kalman Filter)的数学公式如下:
1. 初始化:
- 初始化状态估计值 $\hat{x}_{0|0}$ 和协方差矩阵 $P_{0|0}$。
2. 状态预测:
- 选择Sigma点集合 $X_{k-1|k-1}$,通过对当前状态估计值 $\hat{x}_{k-1|k-1}$ 和协方差矩阵 $P_{k-1|k-1}$ 进行高斯分布采样。
- 将Sigma点集合 $X_{k-1|k-1}$ 通过系统动力学模型进行状态预测,得到预测状态的均值 $\hat{x}_{k|k-1}$ 和协方差矩阵 $P_{k|k-1}$。
3. 测量预测:
- 将预测状态的Sigma点集合 $X_{k|k-1}$ 通过观测模型进行测量预测,得到预测测量的均值 $\hat{z}_{k|k-1}$ 和协方差矩阵 $S_k$。
4. 卡尔曼增益计算:
- 计算卡尔曼增益 $K_k$:
$$
K_k = P_{k|k-1} C_k^\top (C_k P_{k|k-1} C_k^\top + R_k)^{-1}
$$
其中,$C_k$ 是观测模型的雅可比矩阵,$R_k$ 是测量噪声的协方差矩阵。
5. 状态更新:
- 使用测量值 $z_k$ 和预测测量均值 $\hat{z}_{k|k-1}$ 计算测量残差 $y_k$:
$$
y_k = z_k - \hat{z}_{k|k-1}
$$
- 使用卡尔曼增益 $K_k$ 进行状态修正:
$$
\hat{x}_{k|k} = \hat{x}_{k|k-1} + K_k y_k
$$
- 更新协方差矩阵 $P_{k|k}$:
$$
P_{k|k} = P_{k|k-1} - K_k C_k P_{k|k-1}
$$
以上公式描述了无迹卡尔曼滤波器的基本数学计算过程。具体的实现可能会根据问题的不同而有所变化。
迭代卡尔曼滤波的迭代更新的数学公式
迭代卡尔曼滤波(Iterated Kalman Filter,IKF)是一种对卡尔曼滤波(Kalman Filter,KF)的改进,它可以在非线性系统中更精确地估计状态。IKF 的迭代更新公式如下:
1. 预测步骤:
- 估计预测状态:$\hat{x}_{k|k-1} = f(\hat{x}_{k-1|k-1}, u_k)$
- 估计预测误差协方差矩阵:$P_{k|k-1} = F_{k-1}P_{k-1|k-1}F_{k-1}^T + Q_{k-1}$
其中,$f$ 是状态转移函数,$u_k$ 是控制输入,$F_{k-1}$ 是状态转移矩阵,$Q_{k-1}$ 是过程噪声协方差矩阵。
2. 更新步骤:
- 计算卡尔曼增益矩阵:$K_k = P_{k|k-1} H_k^T (H_k P_{k|k-1} H_k^T + R_k)^{-1}$
- 估计当前状态:$\hat{x}_{k|k} = \hat{x}_{k|k-1} + K_k(y_k - h(\hat{x}_{k|k-1}))$
- 更新误差协方差矩阵:$P_{k|k} = (I - K_k H_k) P_{k|k-1}$
其中,$H_k$ 是观测矩阵,$R_k$ 是测量噪声协方差矩阵,$h$ 是观测函数,$y_k$ 是当前测量值。
3. 迭代步骤:
- 重复执行预测和更新步骤,直到收敛。
IKF 的迭代更新公式可以更准确地估计状态,但也需要更多的计算资源。