产生MCMC链用MATLAB语言

MATLAB提供了几种方法来实现MCMC链，下面是其中一种基本的方法。

1.设定先验分布和样本空间

首先需要定义先验分布以及样本空间。以正态分布为例，假设均值为mu，标准差为sigma，则先验分布可以表示为：

prior_mu = 0;
prior_sigma = 10;

样本空间可以表示为：

mu = linspace(-10, 10, 100);
sigma = linspace(0.1, 50, 100);

2.编写似然函数

接下来，需要编写似然函数。假设我们有一个数据集x，我们可以使用正态分布作为似然函数。假设我们的数据服从均值为mu，标准差为sigma的正态分布，则似然函数可以表示为：

function likelihood = compute_likelihood(mu, sigma, x)
    likelihood = prod(normpdf(x, mu, sigma));
end

3.设置初始状态

为了开始MCMC链，需要设置初始状态。在这里，我们可以随机选择一个mu和sigma作为初始状态。例如：

current_mu = -5;
current_sigma = 20;

4.定义步长

步长是指在链中移动时的步幅。在这里，假设步长为0.5。则可以定义步长为：

step_size_mu = 0.5;
step_size_sigma = 0.5;

5.运行MCMC链

现在，可以开始运行MCMC链了。在每个迭代中，需要进行以下步骤：

a.从当前状态中抽取一个新状态

prop_mu = current_mu + step_size_mu*randn();
prop_sigma = current_sigma + step_size_sigma*randn();

b.计算新状态的概率

prior_prop = normpdf(prop_mu, prior_mu, prior_sigma)*normpdf(prop_sigma, prior_sigma, prior_sigma);
likelihood_prop = compute_likelihood(prop_mu, prop_sigma, x);
posterior_prop = prior_prop*likelihood_prop;

c.计算接受率

acceptance_ratio = posterior_prop/posterior_current;

d.接受或拒绝新状态

if rand() < acceptance_ratio
    current_mu = prop_mu;
    current_sigma = prop_sigma;
    posterior_current = posterior_prop;
end

e.保存状态

chain(i, :) = [current_mu, current_sigma];

完整的MCMC链代码如下所示：

% Define prior distribution and sample space
prior_mu = 0;
prior_sigma = 10;
mu = linspace(-10, 10, 100);
sigma = linspace(0.1, 50, 100);

% Define likelihood function
x = [1.2, 3.7, -0.2, 4.1, -1.8, 0.9];
function likelihood = compute_likelihood(mu, sigma, x)
    likelihood = prod(normpdf(x, mu, sigma));
end

% Set initial state
current_mu = -5;
current_sigma = 20;

% Set step size
step_size_mu = 0.5;
step_size_sigma = 0.5;

% Run MCMC chain
num_iterations = 10000;
posterior_current = normpdf(current_mu, prior_mu, prior_sigma)*normpdf(current_sigma, prior_sigma, prior_sigma)*compute_likelihood(current_mu, current_sigma, x);
chain = zeros(num_iterations, 2);

for i = 1:num_iterations
    % Propose new state
    prop_mu = current_mu + step_size_mu*randn();
    prop_sigma = current_sigma + step_size_sigma*randn();
    
    % Compute probability of new state
    prior_prop = normpdf(prop_mu, prior_mu, prior_sigma)*normpdf(prop_sigma, prior_sigma, prior_sigma);
    likelihood_prop = compute_likelihood(prop_mu, prop_sigma, x);
    posterior_prop = prior_prop*likelihood_prop;
    
    % Compute acceptance ratio
    acceptance_ratio = posterior_prop/posterior_current;
    
    % Accept or reject new state
    if rand() < acceptance_ratio
        current_mu = prop_mu;
        current_sigma = prop_sigma;
        posterior_current = posterior_prop;
    end
    
    % Save state
    chain(i, :) = [current_mu, current_sigma];
end

注意，这只是MCMC链的基本方法。实际应用中，可能需要采用更复杂的技术来优化MCMC链的性能。