二分类任务中两类数据满足高斯分布并且方差相同时，证明分类判别函数

如果二分类任务中两类数据满足高斯分布并且方差相同时，那么可以使用线性判别分析（LDA）来建立分类判别函数。

首先，假设两类数据的均值分别为$\mu_1$和$\mu_2$，共用的协方差矩阵为$\Sigma$，则两类数据的高斯分布概率密度函数分别为：

$$
p(x | y = 0) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}|\Sigma|^{1/2}}\exp(-\frac{1}{2}(x-\mu_1)^T\Sigma^{-1}(x-\mu_1))
$$

$$
p(x | y = 1) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}|\Sigma|^{1/2}}\exp(-\frac{1}{2}(x-\mu_2)^T\Sigma^{-1}(x-\mu_2))
$$

其中，$n$为特征的维度。为了方便计算，我们可以将公式中的指数部分展开：

$$
-\frac{1}{2}(x-\mu_k)^T\Sigma^{-1}(x-\mu_k) = -\frac{1}{2}x^T\Sigma^{-1}x + x^T\Sigma^{-1}\mu_k - \frac{1}{2}\mu_k^T\Sigma^{-1}\mu_k
$$

我们可以忽略与$x$无关的常数，得到分类函数：

$$
f(x) = x^T\Sigma^{-1}(\mu_2 - \mu_1) + \frac{1}{2}(\mu_1^T\Sigma^{-1}\mu_1 - \mu_2^T\Sigma^{-1}\mu_2)
$$

如果$f(x)>0$，则将$x$划分为第二类，否则将$x$划分为第一类。这就是线性判别分析的分类判别函数。