卡尔曼滤波的详解公式推导

根据提供的引用内容，卡尔曼滤波可分为线性卡尔曼滤波、扩展卡尔曼滤波、级联式和联邦式卡尔曼滤波、无迹卡尔曼滤波等。下面将详细阐述卡尔曼滤波的原理。

卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的递归滤波器，它基于系统的动力学模型和观测模型，通过融合系统的预测和测量信息来估计系统的状态。卡尔曼滤波的基本思想是通过对系统状态的不确定性进行建模，并根据系统的动力学和观测模型来更新状态的估计。

卡尔曼滤波的推导可以分为两个步骤：预测步骤和更新步骤。

1. 预测步骤：
在预测步骤中，根据系统的动力学模型，通过状态转移方程对系统的状态进行预测。预测步骤的公式如下：
预测状态估计：$\hat{x}_{k|k-1} = F_k \hat{x}_{k-1|k-1} + B_k u_k$
预测误差协方差：$P_{k|k-1} = F_k P_{k-1|k-1} F_k^T + Q_k$

2. 更新步骤：
在更新步骤中，根据观测模型，通过测量更新系统的状态估计。更新步骤的公式如下：
测量残差：$y_k = z_k - H_k \hat{x}_{k|k-1}$
测量残差协方差：$S_k = H_k P_{k|k-1} H_k^T + R_k$
卡尔曼增益：$K_k = P_{k|k-1} H_k^T S_k^{-1}$
更新状态估计：$\hat{x}_{k|k} = \hat{x}_{k|k-1} + K_k y_k$
更新误差协方差：$P_{k|k} = (I - K_k H_k) P_{k|k-1}$

其中，$F_k$是状态转移矩阵，$B_k$是控制输入矩阵，$u_k$是控制输入向量，$Q_k$是过程噪声协方差矩阵，$H_k$是观测矩阵，$R_k$是观测噪声协方差矩阵，$z_k$是测量向量，$\hat{x}_{k|k-1}$是预测状态估计，$P_{k|k-1}$是预测误差协方差，$\hat{x}_{k|k}$是更新状态估计，$P_{k|k}$是更新误差协方差，$y_k$是测量残差，$S_k$是测量残差协方差，$K_k$是卡尔曼增益。