设C为定义在整数(mod 3)域F3={0,1,2}上的线性码,其生成矩阵为G=[1,1,1,0;2,0,1,1],计算该码的重量枚举多项式
时间: 2023-09-23 12:12:10 浏览: 29
首先,计算出码字长度为4的线性码 $C$ 的所有码字:
$$
\begin{aligned}
&c_1=(0,0,0,0), \\
&c_2=(1,1,1,0), \\
&c_3=(2,2,2,0), \\
&c_4=(1,0,0,1), \\
&c_5=(2,1,0,1), \\
&c_6=(0,2,0,1), \\
&c_7=(2,0,1,1), \\
&c_8=(0,1,1,1), \\
&c_9=(1,2,1,1), \\
&c_{10}=(1,0,2,2), \\
&c_{11}=(2,1,2,2), \\
&c_{12}=(0,2,2,2), \\
&c_{13}=(2,0,0,2), \\
&c_{14}=(0,1,0,2), \\
&c_{15}=(1,2,0,2).
\end{aligned}
$$
其中,$c_1$ 是全 0 码字,也是 $C$ 的零码字。
接下来,我们可以根据重量定义,计算出 $C$ 中每个码字的重量 $wt(c_i)$:
$$
\begin{aligned}
&wt(c_1)=0, \\
&wt(c_2)=wt(c_3)=3, \\
&wt(c_4)=wt(c_5)=wt(c_6)=wt(c_7)=2, \\
&wt(c_8)=wt(c_9)=wt(c_{10})=wt(c_{11})=1, \\
&wt(c_{12})=wt(c_{13})=wt(c_{14})=wt(c_{15})=2.
\end{aligned}
$$
然后,我们可以计算出码字中恰好有 $i$ 个非零元素的码字个数 $A_i$:
$$
\begin{aligned}
&A_0=1, \\
&A_1=4, \\
&A_2=4, \\
&A_3=2, \\
&A_4=4.
\end{aligned}
$$
最后,我们可以根据公式 $W(x)=\frac{1}{2^{k-1}}\sum_{j=0}^nA_j x^j$ 计算重量枚举多项式 $W(x)$:
$$
W(x)=\frac{1}{2^{4-1}}\left(1+4x+4x^2+2x^3+4x^4\right)=\frac{1}{8}(1+4x+4x^2+2x^3+4x^4).
$$
因此,定义在整数(mod 3)域 $F_3$ 上,生成矩阵为 $G=[1,1,1,0;2,0,1,1]$ 的线性码 $C$ 的重量枚举多项式为 $W(x)=\frac{1}{8}(1+4x+4x^2+2x^3+4x^4)$。
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