牛顿-共轭梯度法matlab

牛顿-共轭梯度法（Newton-Conjugate-Gradient，NCG）是一种求解无约束优化问题的算法。它结合了牛顿法和共轭梯度法的优点，能够快速地收敛到较优解。下面是使用MATLAB实现NCG算法的示例代码：

function [x, fval, k] = ncg(fun, x0, eps, max_iter)
% fun: 目标函数
% x0: 初始点
% eps: 精度
% max_iter: 最大迭代次数

% 初始化
k = 0;
x = x0;
fval = feval(fun, x);
g = grad(fun, x);
d = -g;
H = hessian(fun, x);

% 迭代
while norm(g) > eps && k < max_iter
    % 计算步长
    alpha = -(g'*d)/(d'*H*d);
    % 更新参数
    x = x + alpha*d;
    fval_old = fval;
    fval = feval(fun, x);
    g_old = g;
    g = grad(fun, x);
    beta = (g'*H*d)/(d'*H*d);
    d = -g + beta*d;
    % 更新Hessian矩阵
    s = x - x0;
    y = g - g_old;
    H = H + (y'*s + s'*H*s)*(s*s')/(s'*y)^2 - (H*y)*(H*y)'/(y'*H*y);
    % 更新迭代次数
    k = k + 1;
end
end

function g = grad(fun, x)
% 计算梯度
g = gradient(fun, x);
end

function H = hessian(fun, x)
% 计算Hessian矩阵
n = length(x);
H = zeros(n);
for i = 1:n
    for j = i:n
        H(i,j) = feval(@hessian_ij, fun, x, i, j);
        H(j,i) = H(i,j);
    end
end
end

function h_ij = hessian_ij(fun, x, i, j)
% 计算Hessian矩阵的ij元素
ei = zeros(length(x), 1);
ej = zeros(length(x), 1);
ei(i) = 1;
ej(j) = 1;
h_ij = feval(@(t) gradient(fun, x+t*ei)'*ej, 0);
end

其中，`fun`是目标函数的句柄，`x0`是初始点，`eps`是精度，`max_iter`是最大迭代次数。在每次迭代中，首先计算当前点的梯度和Hessian矩阵，然后使用共轭梯度法求解牛顿步长，更新参数，再根据DFP公式更新Hessian矩阵。最后根据精度和最大迭代次数的要求判断是否终止迭代。