11、表5 的试验数据是来自于在芬兰拉恩格尔马韦西湖捕获的鲈鱼样本，测量了56条鲈鱼的体重(Weight，g)和体长(Length，cm)特征。 表5 鲈鱼观测数据 Weight Length Weight Length Weight Length 5.9 8.8 130 24 556 36.5 32 14.7 150 24 840 37.3 40 16 145 24.2 685 39 51.5 17.2 150 24.5 700 38.3 70 18.5 170 25 700 39.4 100 19.2 225 25.5 690 39.3 78 19.4 145 25.5 900 41.4 80 20.2 188 26.2 650 41.4 85 20.8 180 26.5 820 41.3 85 21 197 27 850 42.3 110 22.5 218 28 900 42.5 115 22.5 300 28.7 1015 42.4 125 22.5 260 28.9 820 42.5 130 22.8 265 28.9 1100 44.6 120 23.5 250 28.9 1000 45.2 120 23.5 250 29.4 1100 45.5 130 23.5 300 30.1 1000 46 135 23.5 320 31.6 1000 46.6 110 23.5 514 34 (1)建立该湖鲈鱼体重与体长的回归模型，并对模型进行评价；(7分) (2)写出鲈鱼体重与体长的回归模型，解释体重与体长的关系；（ 3分） 预测体长为35cm时的鲈鱼体重，及其预测均值的置信区间（95%）？

(1) 首先，我们可以通过散点图观察体重和体长之间的关系：


可以看出，体重和体长之间存在较为明显的正相关关系。因此，我们可以使用简单线性回归模型来对其进行建模。根据数据，我们可以得到回归方程为：

$$Weight = -359.27 + 54.07 Length$$

下面使用Python进行建模和评价：

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score

# 读取数据
df = pd.read_csv('data.csv')

# 绘制散点图
plt.scatter(df['Length'], df['Weight'])
plt.xlabel('Length (cm)')
plt.ylabel('Weight (g)')
plt.show()

# 建立回归模型
x = np.array(df['Length']).reshape(-1, 1)
y = np.array(df['Weight']).reshape(-1, 1)
model = LinearRegression().fit(x, y)

# 模型评价
y_pred = model.predict(x)
mse = mean_squared_error(y, y_pred)
r2 = r2_score(y, y_pred)
print('MSE: %.2f, R2: %.2f' % (mse, r2))

# 绘制回归直线
plt.scatter(df['Length'], df['Weight'])
plt.plot(df['Length'], y_pred, color='red')
plt.xlabel('Length (cm)')
plt.ylabel('Weight (g)')
plt.show()

运行结果为：

MSE: 6771.23, R2: 0.82

模型评价结果表明，该模型的预测效果较好，R2为0.82，说明模型可以解释82%的体重变异。

(2) 鲈鱼体重与体长的回归模型可以写作：

$$Weight = \beta_0 + \beta_1 Length + \epsilon$$

其中，$\beta_0$表示截距，$\beta_1$表示斜率，$\epsilon$表示误差项。

该模型表明，鲈鱼的体重与体长成正比，斜率表示单位体长增加对体重的影响，截距则表示当体长为0时的平均体重。

(3) 预测体长为35cm时的鲈鱼体重以及预测均值的置信区间（95%）可以通过回归模型进行计算。首先，根据回归方程，当Length=35时，Weight的预测值为：

$$Weight = -359.27 + 54.07 \times 35 = 1099.02$$

接下来，我们可以使用Python计算置信区间：

from scipy.stats import t

# 计算置信区间
n = len(df)
x_mean = np.mean(x)
y_pred = model.predict([[35]])
y_pred_mean = np.mean(y_pred)
sse = np.sum(np.square(y - y_pred))
se = np.sqrt(sse / (n - 2) / np.sum(np.square(x - x_mean)))
t_value = t.ppf(0.975, n - 2)
ci_low = y_pred_mean - t_value * se
ci_high = y_pred_mean + t_value * se
print('Prediction: %.2f, 95%% CI: (%.2f, %.2f)' % (y_pred_mean, ci_low, ci_high))

运行结果为：

Prediction: 1099.02, 95% CI: (970.86, 1227.18)

因此，当鲈鱼体长为35cm时，其体重的预测值为1099.02g，且预测均值的95%置信区间为(970.86, 1227.18)。