用0.618程序求解线性规划matlab

您可以使用MATLAB内置的线性规划求解器来解决线性规划问题。其中，`linprog`函数可以用来求解线性规划问题，其语法如下：

[x, fval, exitflag] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub)

其中，`f`是目标函数系数向量，`A`是约束条件矩阵，`b`是约束条件右侧向量，`Aeq`是等式约束条件矩阵，`beq`是等式约束条件右侧向量，`lb`和`ub`分别是变量下限和上限向量。`x`是解向量，`fval`是目标函数的最优值，`exitflag`是求解器的退出标志，表示求解器是否成功求解问题。

以下是一个使用0.618程序求解线性规划的示例代码：

% 目标函数系数向量
f = [1 2];

% 约束条件矩阵和右侧向量
A = [-1 1; 1 2; 4 1];
b = [1; 2; 8];

% 求解线性规划问题
[x, fval, exitflag] = linprog(f, A, b);

% 输出结果
disp(['解向量： ' num2str(x)]);
disp(['目标函数最优值： ' num2str(fval)]);
if exitflag == 1
    disp('求解成功！');
else
    disp('求解失败！');
end

需要注意的是，MATLAB的线性规划求解器默认使用单纯形法来求解问题。如果需要使用其他算法求解，可以使用`optimoptions`函数来设置求解选项。

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使用MATLAB解决标准形式线性规划问题的单纯形方法程序及算例。0.618法

以下是使用MATLAB解决标准形式线性规划问题的单纯形方法程序及算例，其中使用了0.618法进行最优解的搜索。

程序：

function simplex_method(A, b, c)
% 单纯形法求解线性规划问题
% min c'x s.t. Ax=b, x>=0
% 输入参数：
% A: m*n的系数矩阵
% b: m*1的常数向量
% c: n*1的目标函数系数向量

[m, n] = size(A);
% 添加人工变量
B = eye(m);
A = [A, B];
c = [c; zeros(m, 1)];
B_inv = inv(B);
x_B = B_inv * b;
x = [x_B; zeros(n, 1)];
iter = 0;

while true
    iter = iter + 1;
    fprintf('Iteration %d:\n', iter);
    fprintf('x_B =\n');
    disp(x_B');
    fprintf('x =\n');
    disp(x');
    % 计算单位向量
    e = zeros(m, 1);
    e(iter) = 1;
    % 计算系数向量
    lambda = c' * B_inv * A - c';
    % 判断是否已达到最优解
    if all(lambda >= 0)
        fprintf('Optimal solution found:\n');
        fprintf('x_B =\n');
        disp(x_B');
        fprintf('x =\n');
        disp(x');
        fprintf('Optimal value = %f\n', c' * x);
        break;
    end
    % 计算进入变量
    [~, j] = min(lambda);
    d = B_inv * A(:, j);
    % 判断是否无界
    if all(d <= 0)
        fprintf('Unbounded solution!\n');
        break;
    end
    % 计算步长
    alpha_max = min(x_B ./ d);
    % 0.618法搜索最优解
    alpha_min = 0;
    alpha = alpha_min + 0.618 * (alpha_max - alpha_min);
    x_B_new = x_B - alpha * d;
    x_new = [x_B_new; zeros(n, 1)];
    while c' * x_new >= c' * x
        alpha_max = alpha;
        alpha = alpha_min + 0.618 * (alpha_max - alpha_min);
        x_B_new = x_B - alpha * d;
        x_new = [x_B_new; zeros(n, 1)];
    end
    % 更新解
    x_B = x_B_new;
    x = [x_B; zeros(n, 1)];
    B_inv = inv(B);
end
end

算例：

求解线性规划问题

$$\begin{aligned} \min \quad & 2x_1+3x_2+4x_3 \\ \text{s.t.} \quad & x_1+x_2+x_3=5 \\ & 2x_1+x_2+3x_3=10 \\ & x_1, x_2, x_3 \geq 0 \end{aligned}$$

将其转化为标准形式

$$\begin{aligned} \min \quad & 2x_1+3x_2+4x_3 \\ \text{s.t.} \quad & x_1+x_2+x_3+x_4=5 \\ & 2x_1+x_2+3x_3+x_5=10 \\ & x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 0 \end{aligned}$$

则系数矩阵 $A$、常数向量 $b$ 和目标函数系数向量 $c$ 分别为：

A = [1 1 1 1 0; 2 1 3 0 1];
b = [5; 10];
c = [2; 3; 4; 0; 0];

运行 `simplex_method(A, b, c)` 即可得到最优解和最优值。

如何使用MATLAB实现0.618方法来求解单峰函数的局部极小点？请提供一个详细的编程步骤和代码示例。

0.618方法，又称黄金分割法，是一种高效的线性搜索最优化技术，特别适用于寻找单峰函数的局部极小点。MATLAB作为一种强大的数学计算工具，提供了灵活的编程环境，非常适合实现这类算法。在编写MATLAB程序之前，我们需要了解黄金分割法的基本原理和步骤。

参考资源链接：[MATLAB实现0.618法求解最优化问题](https://wenku.csdn.net/doc/230ngmw603?spm=1055.2569.3001.10343)

首先，黄金分割法的基本思想是通过不断缩小搜索区间来逼近单峰函数的极小值点。在MATLAB中实现这一算法，需要遵循以下步骤：

1. 初始化区间[a, b]和精度阈值t，精度阈值决定了搜索的精确度。
2. 计算试探点v和u的位置，这两个点是根据0.618比例来确定的，即v在区间[a, b]的0.382位置，u在区间[a, b]的0.618位置。
3. 计算这两个试探点的函数值f(v)和f(u)，并根据函数值的比较来缩小搜索区间。
4. 重复第3步，直到区间长度小于或等于精度阈值t，此时区间内的任意点都可以近似认为是局部极小点。

在MATLAB中，我们可以将这一过程封装成一个函数，如下所示：

function [minPoint, minValue] = goldenSectionSearch(f, a, b, t)
    % f - 目标单峰函数
    % a, b - 搜索的初始区间
    % t - 精度阈值
    % minPoint - 极小值点
    % minValue - 极小值

    % 初始化试探点
    phi = (sqrt(5) + 1) / 2; % 黄金分割比例
    v = a + (phi - 1) * (b - a);
    u = a + (phi^(-1) - 1) * (b - a);
    
    % 迭代搜索极小值点
    while (b - a) > t
        fv = f(v);
        fu = f(u);
        
        if fv < fu
            b = u;
            u = v;
            v = a + (phi - 1) * (b - a);
        else
            a = v;
            v = u;
            u = a + (phi^(-1) - 1) * (b - a);
        end
    end
    
    % 计算区间中点作为近似极小值点
    minPoint = (a + b) / 2;
    minValue = f(minPoint);
end

使用这个函数时，只需要定义好单峰函数f(x)并提供初始区间[a, b]及精度阈值t即可。例如，我们可以定义函数f(x)=cos(3x)，并寻找其在区间[0, π]上的最小值点：

f = @(x) cos(3 * x); % 定义函数
a = 0; % 初始区间下限
b = pi; % 初始区间上限
t = 1e-5; % 精度阈值
[minPoint, minValue] = goldenSectionSearch(f, a, b, t); % 调用函数

fprintf('局部极小点位于 x = %f, 函数值为 f(x) = %f\n', minPoint, minValue);

这段代码将输出函数的局部极小点以及对应的函数值。通过这个示例，我们可以看到MATLAB在实现最优化算法中的强大功能和灵活性。对于想要进一步深入学习最优化方法和MATLAB编程的学生而言，资料《MATLAB实现0.618法求解最优化问题》提供了详细的代码实现和理论分析，是学习过程中的宝贵资源。

参考资源链接：[MATLAB实现0.618法求解最优化问题](https://wenku.csdn.net/doc/230ngmw603?spm=1055.2569.3001.10343)