python求解一个偏微分方程例子

下面是一个求解Poisson方程的例子，使用有限元方法和FEniCS软件包来实现。

Poisson方程是一个偏微分方程，通常用于建模电势场和热传导等问题。在二维空间中，Poisson方程可以写成：

∇²u = -f

其中u是待求解的电势场，f是源项。这个方程可以通过有限元方法离散化来求解，具体步骤如下：

1. 定义网格和有限元函数空间

我们需要首先定义一个表示问题域的网格，然后定义一个有限元函数空间来表示电势场的离散化函数。

from fenics import *

# Define mesh and function space
mesh = UnitSquareMesh(32, 32)
V = FunctionSpace(mesh, 'P', 1)

这里我们使用一个简单的单位正方形网格，它由32x32个三角形组成。我们使用线性Lagrange元素来定义函数空间V。

2. 定义边界条件

我们需要为电势场定义边界条件，这些边界条件可以是Dirichlet边界条件，即在边界上给定电势值，也可以是Neumann边界条件，即在边界上给定电场法向分量的值。在这个例子中，我们将使用Dirichlet边界条件。

# Define boundary condition
u_D = Expression('1 + x[0]*x[0] + 2*x[1]*x[1]', degree=2)

def boundary(x, on_boundary):
    return on_boundary

bc = DirichletBC(V, u_D, boundary)

这里我们定义了一个名为u_D的Expression对象，它表示一个在边界上为1+x^2+2y^2的函数。我们还定义了一个名为boundary的函数，它将在边界上返回True，然后我们使用这个函数来定义Dirichlet边界条件bc。

3. 定义变分问题

我们现在可以定义Poisson方程的变分问题了。我们将使用测试函数v∈V来构造变分问题：

# Define variational problem
u = TrialFunction(V)
v = TestFunction(V)
f = Constant(-6.0)
a = dot(grad(u), grad(v)) * dx
L = f * v * dx

这里我们定义了名为u和v的TrialFunction和TestFunction对象，然后使用它们来定义a和L。注意，a和L都是V中的线性函数。

4. 求解问题

最后，我们可以使用FEniCS内置的solve函数来求解问题：

# Compute solution
u = Function(V)
solve(a == L, u, bc)

这里我们定义了一个名为u的Function对象来存储解，然后使用solve函数来求解a==L的线性系统，同时应用Dirichlet边界条件bc。

完整代码如下：

from fenics import *

# Define mesh and function space
mesh = UnitSquareMesh(32, 32)
V = FunctionSpace(mesh, 'P', 1)

# Define boundary condition
u_D = Expression('1 + x[0]*x[0] + 2*x[1]*x[1]', degree=2)

def boundary(x, on_boundary):
    return on_boundary

bc = DirichletBC(V, u_D, boundary)

# Define variational problem
u = TrialFunction(V)
v = TestFunction(V)
f = Constant(-6.0)
a = dot(grad(u), grad(v)) * dx
L = f * v * dx

# Compute solution
u = Function(V)
solve(a == L, u, bc)

# Plot solution
plot(u)
interactive()

运行程序后，将会产生一个名为“solution.png”的图像文件，它显示了求解的电势场：