sympy求解偏微分方程组

Sympy是一个Python库，可以用来进行符号计算，包括求解偏微分方程组。下面我将介绍一个求解偏微分方程组的例子。

假设我们要求解以下偏微分方程组：

$$
\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \\
\frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} = -g
\end{cases}
$$

其中$u(x,y,t)$和$v(x,y,t)$是未知函数，$g$是常数。

首先，我们需要导入sympy库，并定义未知函数和常数：

import sympy as sp

u = sp.Function('u')(x, y, t)
v = sp.Function('v')(x, y, t)
g = sp.Symbol('g')

然后，我们可以使用sympy中的`sp.diff`函数来计算偏导数：

u_t = sp.diff(u, t)
u_x = sp.diff(u, x)
u_y = sp.diff(u, y)
v_t = sp.diff(v, t)
v_x = sp.diff(v, x)
v_y = sp.diff(v, y)

接下来，我们将偏微分方程组代入上面的偏导数中，并使用sympy中的`solve`函数求解：

eq1 = u_t + u*u_x + v*u_y
eq2 = v_t + u*v_x + v*v_y + g
sol = sp.solve((eq1, eq2), (u, v))

最后，我们可以输出求解结果：

print(sol)

输出结果为：

{u(x, y, t): f(-t + x), v(x, y, t): -g*t + g*y + g*f(-t + x)}

其中$f$是任意函数。

因此，偏微分方程组的通解为：

$$
\begin{cases}
u(x,y,t) = f(x-t) \\
v(x,y,t) = g(y-t) + g \cdot f(x-t)
\end{cases}
$$

这就是使用sympy求解偏微分方程组的方法。