笛卡尔坐标系中的偏微分方程：公式、性质、应用，一文吃透

# 1. 笛卡尔坐标系中的偏微分方程简介**

笛卡尔坐标系中的偏微分方程（PDE）是一种数学方程，其中未知函数的偏导数相对于多个自变量。它广泛应用于物理、工程和金融等领域。

PDE 的一般形式为：

F(x, y, z, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z, ...) = 0

其中：

* `x`, `y`, `z` 是自变量
* `u` 是未知函数
* `∂u/∂x`, `∂u/∂y`, `∂u/∂z` 是偏导数
* `F` 是一个包含未知函数及其偏导数的函数

# 2. 偏微分方程的分类与基本性质

### 2.1 线性偏微分方程与非线性偏微分方程

**定义：**

* **线性偏微分方程：**方程中未知函数及其偏导数的次数均为一次。
* **非线性偏微分方程：**方程中未知函数及其偏导数的次数至少有一个大于一次。

**线性偏微分方程的通式：**

a(x,y)u_{xx} + b(x,y)u_{xy} + c(x,y)u_{yy} + d(x,y)u_x + e(x,y)u_y + f(x,y)u = g(x,y)

其中，a、b、c、d、e、f、g 为已知函数，u 为未知函数。

**非线性偏微分方程的通式：**

F(x,y,u,u_x,u_y,u_{xx},u_{xy},u_{yy}) = 0

其中，F 为已知函数，u 为未知函数。

### 2.2 齐次偏微分方程与非齐次偏微分方程

**定义：**

* **齐次偏微分方程：**方程的右端为零。
* **非齐次偏微分方程：**方程的右端不为零。

**齐次偏微分方程的通式：**

a(x,y)u_{xx} + b(x,y)u_{xy} + c(x,y)u_{yy} + d(x,y)u_x + e(x,y)u_y = 0

**非齐次偏微分方程的通式：**

a(x,y)u_{xx} + b(x,y)u_{xy} + c(x,y)u_{yy} + d(x,y)u_x + e(x,y)u_y = f(x,y)

### 2.3 常微分方程与偏微分方程

**定义：**

* **常微分方程：**未知函数只含有一个自变量。
* **偏微分方程：**未知函数含有多个自变量。

**常微分方程的通式：**

y' = f(x,y)

其中，y' 为 y 对 x 的导数。

**偏微分方程的通式：**

u_x = f(x,y,u)

其中，u_x 为 u 对 x 的偏导数。

**两者之间的关系：**

偏微分方程可以看作是常微分方程在多个自变量上的推广。

# 3. 偏微分方程的解法**

偏微分方程的解法是偏微分方程理论中的一个重要课题，也是应用偏微分方程解决实际问题的前提。本章节将介绍三种常用的偏微分方程解法：分离变量法、特征线法和变换法。

### 3.1 分离变量法

分离变量法是一种求解线性偏微分方程的有效方法，其基本思想是将偏微分方程化简为多个一元微分方程，然后分别求解这些一元微分方程，再将解组合起来得到偏微分方程的解。

**步骤：**

1. 将偏微分方程化简为如下形式：

F(u,x)∂u/∂x + G(u,y)∂u/∂y = H(x,y)

2. 将变量分离，得到如下两个一元微分方程：

F(u,x)∂u/∂x = H(x,y)
G(u,y)∂u/∂y = H(x,y)

3. 分别求解这两个一元微分方程，得到如下解：

u = f(x) + g(y)

其中，f(x)和g(y)是待定函数。

**代码示例：**

import sympy
x = sympy.Symbol('x')
y = sympy.Symbol('y')
u = sympy.Function('u')

# 给定偏微分方程
equ = sympy.Eq(x*u.diff(x) + y*u.diff(y), x + y)

# 分离变量
equ_x = sympy.Eq(x*u.diff(x), x + y)
equ_y = sympy.Eq(y*u.diff(y), x + y)

# 求解一元微分方程
sol_x = sympy.solve(equ_x, u.diff(x))
sol_y = sympy.solve(equ_y, u.diff(y))

# 整合解
sol = sympy.integrate(sol_x[0], x) + sympy.integrate(sol_y[0], y)
print(sol)

**逻辑分析：**

* 第一行导入必要的库。
* 第二至四行定义了变量和偏微分方程。
* 第五行将偏微分方程分离为两个一元微分方程。
* 第六至七行求解这两个一元微分方程。
* 第八行将解整合起来得到偏微分方程的解。

### 3.2 特征线法

特征线法是一种求解一阶偏微分方程的有效方法，其基本思想是利用偏微分方程的特征方程来构造特征线，然后沿着特征线求解偏微分方程。

**步骤：**

1. 求解偏微分方程的特征方程：

a(x,y)dx + b(x,y)dy = 0

2. 沿特征线求解偏微分方程：

du/ds = f(x,y,u)

其中，s是特征线上的弧长参数。

**代码示例：**

import sympy
x = sympy.Symbol('x')
y = sympy.Symbol('y')
u = sympy.Function('u')

# 给定偏微分方程
equ = sympy.Eq(x*u.diff(x) + y*u.diff(y), u)

# 求解特征方程
char_equ = sympy.Eq(x*dx + y*dy, 0)
char_sol = sympy.solve(char_equ, (dx, dy))

# 构造特征线
char_line = sympy.Eq(y/x, sympy.Symbol('C'))

# 沿特征线求解偏微分方程
equ_s = sympy.Eq(u.diff(s), u/x)
sol_s = sympy.solve(equ_s, u.diff(s))

# 求解偏微分方程
sol = sympy.integrate(sol_s[0], s)
print(sol)

**逻辑分析：**

* 第一行导入必要的库。
* 第二至四行定义了变量和偏微分方程。