笛卡尔坐标系中的圆方程：公式、性质、应用，一网打尽

# 1. 笛卡尔坐标系中的圆方程

圆是平面几何中一种重要的曲线，其形状由圆心和半径决定。在笛卡尔坐标系中，圆方程可以表示为：

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

其中，(h, k) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。这个方程表示圆上任意一点到圆心的距离都等于半径。

# 2. 圆方程的性质

### 2.1 圆心的坐标

圆心坐标是圆方程中非常重要的一个参数，它决定了圆在笛卡尔坐标系中的位置。圆心的坐标通常用`(h, k)`表示，其中`h`是圆心横坐标，`k`是圆心纵坐标。

**定理：**圆心坐标为`(-b/2a, -c/2b)`。

**证明：**

x^2 + 2bxy + by^2 + 2ax + 2cy + d = 0

令`x = -b/2a`，`y = -c/2b`，代入圆方程得：

(-b/2a)^2 + 2b(-b/2a)(-c/2b) + b(-c/2b)^2 + 2a(-b/2a) + 2c(-c/2b) + d = 0

化简得：

b^2/4a^2 - b^2c/2ab + b^2c^2/4b^2 - b^2/a + c^2/b + d = 0

整理得：

d = b^2/4a^2 - b^2c/2ab + b^2c^2/4b^2 - b^2/a + c^2/b

因此，圆心坐标为`(-b/2a, -c/2b)`。

### 2.2 半径的长度

圆的半径是圆心到圆上任意一点的距离，它决定了圆的大小。圆的半径通常用`r`表示。

**定理：**半径长度为`√(a^2 + b^2 + c^2 - d)/2a`。

**证明：**

x^2 + 2bxy + by^2 + 2ax + 2cy + d = 0

令`x = -b/2a`，`y = -c/2b`，代入圆方程得：

(-b/2a)^2 + 2b(-b/2a)(-c/2b) + b(-c/2b)^2 + 2a(-b/2a) + 2c(-c/2b) + d = 0

化简得：

b^2/4a^2 - b^2c/2ab + b^2c^2/4b^2 - b^2/a + c^2/b + d = 0

整理得：

d = b^2/4a^2 - b^2c/2ab + b^2c^2/4b^2 - b^2/a + c^2/b

因此，半径长度为`√(a^2 + b^2 + c^2 - d)/2a`。

### 2.3 圆周率的计算

圆周率是一个无理数，通常用希腊字母π表示。它是圆的周长与直径的比值。

**定理：**圆周率为`2π`。

**证明：**

x^2 + 2bxy + by^2 + 2ax + 2cy + d = 0

令`x = -b/2a`，`y = -c/2b`，代入圆方程得：

(-b/2a)^2 + 2b(-b/2a)(-c/2b) + b(-c/2b)^2 + 2a(-b/2a) + 2c(-c/2b) + d = 0