笛卡尔坐标系中的极限：公式、性质、应用，一文吃透

# 1. 笛卡尔坐标系中的极限**

极限是微积分的基础概念，它描述了函数在自变量无限接近某个特定值时函数值的渐近行为。在笛卡尔坐标系中，极限可以定义为：

设函数 f(x) 在 x0 处有定义，如果对于任意给定的正数 ε，都存在一个正数 δ，使得当 0 < |x - x0| < δ 时，有 |f(x) - L| < ε，则称当 x 趋于 x0 时，f(x) 的极限为 L，记作：

lim_(x->x0) f(x) = L

# 2.1 极限的定义和性质

### 2.1.1 极限的定义

**定义：**

对于函数 f(x) 和实数 L，如果对于任意给定的正数 ε > 0，总存在一个正数 δ > 0，使得当 0 < |x - a| < δ 时，就有 |f(x) - L| < ε，则称函数 f(x) 在 x = a 处的极限为 L，记作：

lim_(x->a) f(x) = L

### 2.1.2 极限的性质

极限具有以下性质：

**1. 唯一性：**
如果极限存在，则它唯一。

**2. 线性性：**
若 lim_(x->a) f(x) = L1 和 lim_(x->a) g(x) = L2，则：
* lim_(x->a) [f(x) + g(x)] = L1 + L2
* lim_(x->a) [f(x) - g(x)] = L1 - L2
* lim_(x->a) [cf(x)] = cL1，其中 c 是常数

**3. 乘积性：**
若 lim_(x->a) f(x) = L1 和 lim_(x->a) g(x) = L2，则：
* lim_(x->a) [f(x)g(x)] = L1L2

**4. 商的极限：**
若 lim_(x->a) f(x) = L1 和 lim_(x->a) g(x) = L2，且 L2 ≠ 0，则：
* lim_(x->a) [f(x)/g(x)] = L1/L2

**5. 夹逼定理：**
若 lim_(x->a) f(x) = lim_(x->a) g(x) = L，且 f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) 在 x = a 的某个去心邻域内成立，则：
* lim_(x->a) h(x) = L

**6. 连续函数的极限：**
若函数 f(x) 在 x = a 处连续，则：
* lim_(x->a) f(x) = f(a)

# 3. 极限的应用

### 3.1 求导数

#### 3.1.1 导数的定义

导数是微积分中一个基本概念，它表示函数在某一点处的瞬时变化率。