笛卡尔坐标系中的拉普拉斯变换：公式、性质、应用，一文读懂

# 1. 笛卡尔坐标系中拉普拉斯变换的基本概念

拉普拉斯变换是一种积分变换，广泛应用于数学、物理和工程领域。它将时域函数转换为复频域函数，从而简化了某些数学问题的求解。

在笛卡尔坐标系中，拉普拉斯变换的定义如下：

F(s) = L{f(t)} = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt

其中：

* `F(s)` 是拉普拉斯变换后的函数
* `f(t)` 是时域函数
* `s` 是复变量，`s = σ + iω`，其中 `σ` 为实部，`ω` 为虚部

# 2. 拉普拉斯变换的性质和定理

拉普拉斯变换具有丰富的性质和定理，这些性质和定理在拉普拉斯变换的应用中发挥着至关重要的作用。

### 2.1 线性性质

线性性质是拉普拉斯变换最基本和重要的性质之一，它表明拉普拉斯变换是一个线性算子。

#### 2.1.1 加法性质

**定理：**若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 的拉普拉斯变换分别为 $F(s)$ 和 $G(s)$，则 $af(t) + bg(t)$ 的拉普拉斯变换为 $aF(s) + bG(s)$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数。

**证明：**

\begin{aligned}
\mathcal{L}[af(t) + bg(t)] &= \int_0^\infty e^{-st}(af(t) + bg(t)) dt \\
&= a\int_0^\infty e^{-st}f(t) dt + b\int_0^\infty e^{-st}g(t) dt \\
&= aF(s) + bG(s)
\end{aligned}

#### 2.1.2 乘法性质

**定理：**若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 的拉普拉斯变换分别为 $F(s)$ 和 $G(s)$，则 $f(t)g(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s) * G(s)$，其中 $*$ 表示卷积运算。

**证明：**

\begin{aligned}
\mathcal{L}[f(t)g(t)] &= \int_0^\infty e^{-st}f(t)g(t) dt \\
&= \int_0^\infty \left(\int_0^t e^{-su}f(u) du\right) e^{-s(t-u)}g(t-u) dt \\
&= \int_0^\infty \int_0^t e^{-su}f(u) e^{-s(t-u)}g(t-u) du dt \\
&= \int_0^\infty \int_u^\infty e^{-sv}f(u)g(v-u) dv du \\
&= \int_0^\infty \left(\int_0^\infty e^{-sv}f(u)g(v-u) du\right) dv \\
&= F(s) * G(s)
\end{aligned}

### 2.2 平移性质

平移性质描述了拉普拉斯变换对函数时域和平移的响应。

#### 2.2.1 时移性质

**定理：**若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f(t-a)u(t-a)$ 的拉普拉斯变换为 $e^{-as}F(s)$，其中 $a$ 是常数，$u(t)$ 是单位阶跃函数。

**证明：**

\begin{aligned}
\mathcal{L}[f(t-a)u(t-a)] &= \int_0^\infty e^{-st}f(t-a)u(t-a) dt \\
&= \int_a^\infty e^{-s(t-a)}f(t-a) dt \\
&= \int_0^\infty e^{-