笛卡尔坐标系中的向量：公式、性质、应用，一文搞定

# 1. 笛卡尔坐标系中的向量简介

在笛卡尔坐标系中，向量是一个具有大小和方向的有序线段。它可以用来表示物理量，如力、速度和位移。

向量的几何表示是一个有向线段，它的起点是向量作用的点，终点是向量作用的结果。向量的长度表示其大小，方向由起点到终点的方向决定。

向量的代数表示是一个有序数对，表示向量的两个分量。在笛卡尔坐标系中，分量表示向量在 x 轴和 y 轴上的投影长度。

# 2. 向量的运算

在了解了向量的基本概念后，我们接下来探讨向量的运算。向量的运算主要包括加减法、数乘、点积和叉积。

### 2.1 向量的加减法

#### 2.1.1 向量的几何意义

向量的加法和减法具有明显的几何意义。对于两个向量 **a** 和 **b**，它们的和 **a + b** 是从向量 **a** 的尾部到向量 **b** 的头部引出的向量，而它们的差 **a - b** 是从向量 **a** 的尾部到向量 **b** 的尾部引出的向量。

#### 2.1.2 向量的代数表示

向量的加减法可以在代数上表示为：

a + b = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)
a - b = (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)

其中，**a** 和 **b** 是 n 维向量，**a1**、**a2**、...、**an** 和 **b1**、**b2**、...、**bn** 分别是向量的各个分量。

### 2.2 向量的数乘

#### 2.2.1 数乘的几何意义

向量的数乘是指将一个向量乘以一个标量（实数）。数乘的几何意义是将向量沿其方向伸缩或压缩。如果标量为正，则向量沿其方向伸缩；如果标量为负，则向量沿其方向压缩。

#### 2.2.2 数乘的代数表示

向量的数乘可以在代数上表示为：

k * a = (ka1, ka2, ..., kan)

其中，**a** 是 n 维向量，**k** 是标量，**a1**、**a2**、...、**an** 是向量的各个分量。

### 2.3 向量的点积

#### 2.3.1 点积的几何意义

向量的点积是两个向量之间的标量积。点积的几何意义是两个向量在它们夹角上的投影的乘积。点积为正，则两个向量夹角小于 90 度；点积为负，则两个向量夹角大于 90 度；点积为 0，则两个向量垂直。

#### 2.3.2 点积的代数表示

向量的点积可以在代数上表示为：

a · b = a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn

其中，**a** 和 **b** 是 n 维向量，**a1**、**a2**、...、**an** 和 **b1**、**b2**、...、**bn** 分别是向量的各个分量。

### 2.4 向量的叉积

#### 2.4.1 叉积的几何意义

向量的叉积是两个三维向量之间的向量积。叉积的几何意义是两个向量在它们所在平面上的平行四边形的面积。叉积与两个向量所在平面的法向量平行。

#### 2.4.2 叉积的代数表示

向量的叉积可以在代数上表示为：

a × b = (a2 * b3 - a3 * b2, a3 * b1 - a1 * b3, a1 * b2 - a2 * b1)

其中，**a** 和 **b** 是三维向量，**a1**、**a2**、**a3** 和 **b1**、**b2**、**b3** 分别是向量的各个分量。

# 3.1 向量的共线性和垂直性

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