请给出归约的概念以及传递性和等价性证明
时间: 2023-06-30 07:19:04 浏览: 102
1. 归约的概念
归约是指将一个问题转化为另一个问题的过程,这个过程中保持问题答案的不变性。在计算机科学中,归约通常用于研究问题之间的复杂性和可解性。
更具体地说,如果问题A可以在多项式时间内归约到问题B,那么我们可以使用问题B的解法来解决问题A。这个过程中,问题A被称为问题B的“归约问题”,问题B被称为问题A的“解决问题”。
2. 传递性证明
如果问题A可以在多项式时间内归约到问题B,问题B可以在多项式时间内归约到问题C,那么问题A就可以在多项式时间内归约到问题C。这个结论被称为归约的传递性,可以通过以下证明过程得到:
假设存在一个算法A,可以在多项式时间内将问题A归约到问题B,即A(x) = B(f(x)),其中x是问题A的一个实例,f(x)是一个多项式时间可计算的函数。同时,假设存在一个算法B,可以在多项式时间内将问题B归约到问题C,即B(y) = C(g(y)),其中y是问题B的一个实例,g(y)是一个多项式时间可计算的函数。
那么,我们可以使用算法B来解决问题A。具体地说,对于问题A的一个实例x,我们可以首先使用算法A将其转化为问题B的一个实例f(x),然后再使用算法B将其转化为问题C的一个实例g(f(x)),最后使用算法C解决问题C的实例g(f(x))。由于算法A和算法B都是多项式时间可计算的,因此总复杂度是多项式时间的。
因此,归约具有传递性。
3. 等价性证明
如果问题A可以在多项式时间内归约到问题B,同时问题B也可以在多项式时间内归约到问题A,那么问题A和问题B就是等价的。这个结论被称为归约的等价性,可以通过以下证明过程得到:
假设存在一个算法A,可以在多项式时间内将问题A归约到问题B,即A(x) = B(f(x)),其中x是问题A的一个实例,f(x)是一个多项式时间可计算的函数。同时,假设存在一个算法B,可以在多项式时间内将问题B归约到问题A,即B(y) = A(g(y)),其中y是问题B的一个实例,g(y)是一个多项式时间可计算的函数。
那么,我们可以使用算法A来解决问题B。具体地说,对于问题B的一个实例y,我们可以首先使用算法B将其转化为问题A的一个实例g(y),然后再使用算法A将其转化为问题B的一个实例f(g(y)),最后使用算法B解决问题B的实例f(g(y))。由于算法A和算法B都是多项式时间可计算的,因此总复杂度是多项式时间的。
因此,归约具有等价性。
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