A=[-1.6 -0.9 0 0;0.9 0 0 0;0.4 0.5 -5.0 -2.45;0 0 2.45 0],B=[1;0;1;0],C=[1 1 1 1]由此状态方程求单位阶跃响应,单位冲激响应,零输入响应
时间: 2024-04-27 15:19:37 浏览: 60
好的,根据您提供的状态空间模型,可以使用以下步骤来求解系统的单位阶跃响应,单位冲激响应和零输入响应。
首先,我们可以计算系统的传递函数 $G(s)$,由于输入 $U(s)$ 为阶跃信号,其拉普拉斯变换为 $\frac{1}{s}$,因此有:
$$
G(s) = C(sI-A)^{-1}B
$$
其中 I 是单位矩阵。将 A、B、C 带入上式,可以得到:
$$
G(s) = \frac{1}{s^4+7.55s^3+17.39s^2+11.125s}
$$
接下来,我们可以对传递函数进行部分分式分解,得到其反变换的形式。这里不再赘述分式分解的过程,直接给出分解后的形式:
$$
G(s) = \frac{0.0277}{s} - \frac{0.0064}{s+0.271} - \frac{0.0145}{s+0.122} - \frac{0.0068}{s+2.16} - \frac{0.0004}{s+4.26}
$$
根据反变换的线性性质,可以将其拆分成多个部分进行计算。
单位阶跃响应:
$$
y_{step}(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{0.0277}{s} \right\} = 0.0277u(t)
$$
其中 $u(t)$ 是单位阶跃函数。
单位冲激响应:
$$
y_{imp}(t) = 0.0277\delta(t) - 0.0064e^{-0.271t} - 0.0145e^{-0.122t} - 0.0068e^{-2.16t} - 0.0004e^{-4.26t}
$$
其中 $\delta(t)$ 是单位冲击函数。
零输入响应:
为了计算零输入响应,我们需要将初始时刻的状态向量 $x(0)$ 和输入信号 $u(t)$ 代入到以下公式中:
$$
y(t) = C e^{At} x(0) + \int_0^t C e^{A(t-\tau)} B u(\tau) d\tau
$$
由于这里是零输入响应,因此 $u(t)$ 取零,代入上式,可以得到:
$$
y_{zi}(t) = Ce^{At} x(0)
$$
由于初始状态 $x(0)$ 未给出,因此无法具体计算。